Критерий Стьюдента

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 18:49, 12 августа 2008

Содержание

1 Сравнение выборочного среднего с заданным значением
2 Сравнение двух выборочных средних при известных дисперсиях
3 Сравнение двух выборочных средних при неизвестных равных дисперсиях
4 Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях
5 Сравнение двух выборочных средних в связанных выборках
6 История
7 Литература
8 Ссылки

t-критерий Стьюдента — общее название для статистических тестов, в которых статистика критерия имеет распределение Стьюдента. Наиболее часто t-критерии применяются для проверки равенства средних значений в двух выборках.

Все разновидности критерия Стьюдента являются параметрическими и основаны на дополнительном предположении о нормальности выборки данных. Поэтому перед применением критерия Стьюдента рекомендуется выполнить проверку нормальности. Если гипотеза нормальности отвергается, можно проверить другие распределения, или использоватьнепараметрические статистические тесты.

Сравнение выборочного среднего с заданным значением

Задана выборка $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R}$ .

Дополнительное предположение: выборка нормальна.

Нулевая гипотеза $H_0:\; \bar x = \mu$ (выборочное среднее равно заданному числу $\mu$ ).

Статистика критерия:

$\displaystyle t = \frac{(\bar x - \mu)\sqrt{m}}{s}$

имеет распределение Стьюдента с $m-1$ степенями свободы, где

$\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i$ — выборочное среднее,

$\displaystyle s^2 = \frac1{m-1} \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2$ — выборочная дисперсия.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

против альтернативы $H_1:\; \bar x \neq \mu$

если $|t| > t_{\alpha/2}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H'_1:\; \bar x < \mu$

если $t < t_{\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H''_1:\; \bar x > \mu$

если $t > t_{1-\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

где $t_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль распределения Стьюдента с $m-1$ степенями свободы.

Сравнение двух выборочных средних при известных дисперсиях

Заданы две выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}$ .

Дополнительные предположения:

обе выборки нормальны;
значения дисперсий $\sigma^2_x,\, \sigma^2_y$ известны априори; это означает, что дисперсии были оценены заранее не по этим выборкам, а исходя из какой-то другой информации; случай «неизвестных дисперсий», когда такого источника информации нет и дисперсии приходится оценивать по самим выборкам, описан ниже.

Нулевая гипотеза $H_0:\; \bar x = \bar y$ (средние в двух выборках равны).

Статистика критерия:

$z = (\bar x - \bar y) \left( \frac{\sigma^2_x}{m} +\frac{\sigma^2_y}{n} \right)^{-1/2}$

имеет стандартное нормальное распределение $\mathcal{N}(0,1)$ , где

$\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\;\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i$ — выборочные средние.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

против альтернативы $H_1:\; \bar x \neq \bar y$

если $|z| > \Phi_{\alpha/2}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H'_1:\; \bar x < \bar y$

если $z < \Phi_{\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H''_1:\; \bar x > \bar y$

если $z > \Phi_{1-\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

где $\Phi_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль стандартного нормального распределения.

Сравнение двух выборочных средних при неизвестных равных дисперсиях

Заданы две выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}$ .

Дополнительные предположения:

обе выборки нормальны;
значения дисперсий равны: $\sigma^2_x = \sigma^2_y$ , но априори не известны.

Нулевая гипотеза $H_0:\; \bar x = \bar y$ (средние в двух выборках равны).

Статистика критерия:

$t = \left( \frac{\bar x - \bar y}{s} \right) \sqrt{ \frac{mn}{m+n} }$

имеет распределение Стьюдента с $m+n-2$ степенями свободы, где

$\displaystyle s^2 = \frac{(m-1)s_x^2+(n-1)s_y^2}{m+n-2},\;\; s_x^2 = \frac1{m-1} \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2,\;\; s_y^2 = \frac1{n-1} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar y \right)^2$ — выборочные дисперсии;

$\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\;\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i$ — выборочные средние.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

против альтернативы $H_1:\; \bar x \neq \bar y$

если $|z| > t_{\alpha/2}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H'_1:\; \bar x < \bar y$

если $z < t_{\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H''_1:\; \bar x > \bar y$

если $z > t_{1-\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

где $t_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль распределения Стьюдента с $m+n-2$ степенями свободы.

Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях

Задача сравнения средних двух нормально распределённых выборок при неизвестных и неравных дисперсиях известна как проблема Беренса-Фишера. Точного решения этой задачи до настоящего времени нет. На практике используются различные приближения.

Заданы две выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}$ .

Дополнительное предположение: обе выборки нормальны.

Нулевая гипотеза $H_0:\; \bar x = \bar y$ (средние в двух выборках равны).

Статистика критерия:

$t = \frac{\bar x - \bar y}{s}$

где

$\displaystyle s^2 = \frac1m{s_x^2} + \frac1n{s_y^2},\;\; s_x^2 = \frac1{m-1}\sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2,\;\; s_y^2 = \frac1{n-1} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar y \right)^2$ — выборочные дисперсии;

$\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\;\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i$ — выборочные средние.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

против альтернативы $H_1:\; \bar x \neq \bar y$

если $t > t'_{\alpha/2}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H'_1:\; \bar x < \bar y$

если $t < t'_{\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H''_1:\; \bar x > \bar y$

если $t > t'_{1-\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

где квантили $t'_{\alpha}$ определяются по-разному в различных приближениях:

Критерий Кохрена-Кокса:

$t'_{\alpha} = \frac{\nu_x t_{\alpha}(m-1) + \nu_y t_{\alpha}(n-1)}{\nu_x+\nu_y},\; \nu_x=\frac{s_x^2}m,\; \nu_y=\frac{s_y^2}n$ , где $t_{\alpha}(f)$ есть $\alpha$ -квантиль распределения Стьюдента с $f$ степенями свободы;

Критерий Сатервайта:

$t'_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы $f = s^4\left( \frac1{1-m}\left(\frac{s_x^2}m\right)^2 + \frac1{1-n}\left(\frac{s_y^2}n\right)^2 \right)^{-1}.$

Критерий Крамера-Уэлча:

Сравнение двух выборочных средних в связанных выборках

Заданы две выборки одинаковой длины $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}$ .

Дополнительные предположения:

обе выборки нормальны;
выборки связны, то есть элементы $x_i,\: y_i$ соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).

Сравнение выборочных средних в связанных выборках ничем не отличается от сравнения среднего разности $d_i = x_i - y_i$ с нулём.

История

Критерий был разработан Уильямом Госсеттом для оценки качества пива на пивоваренных заводах Гиннесса в Дублине (Ирландия). В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсетта вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

Литература

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.

Ссылки

Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
Статистика (функция выборки)
Student's t-test — статья в англоязычной Википедии.
t-критерий Стьюдента — статья в русской Википедии.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A1%D1%82%D1%8C%D1%8E%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0»

Категории: Статистические тесты | Параметрические статистические тесты | Популярные и обзорные статьи

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{TOCright}}
-'''t-критерий Стьюдента''' — общее название для [[статистический тест|статистических тестов]], в которых статистика критерия имеет [[распределение Стьюдента]]. Наиболее часто t-критерии применяются для проверки равенства средних значений в двух нормальных [[выборка]]х.
+'''t-критерий Стьюдента''' — общее название для [[статистический тест|статистических тестов]], в которых статистика критерия имеет [[распределение Стьюдента]]. Наиболее часто t-критерии применяются для проверки равенства средних значений в двух [[выборка]]х.
-Все разновидности критерия Стьюдента являются параметрическими и основаны на дополнительном предположении о нормальности выборки данных. Поэтому перед применением критерия Стьюдента рекомендуется выполнить [[Критерии нормальности|проверку нормальности]].
+Все разновидности критерия Стьюдента являются параметрическими и основаны на дополнительном предположении о нормальности выборки данных. Поэтому перед применением критерия Стьюдента рекомендуется выполнить [[Критерии нормальности|проверку нормальности]]. Если гипотеза нормальности отвергается, можно проверить другие распределения, или использовать[[:Категория:Непараметрические статистические тесты|непараметрические статистические тесты]].
 == Сравнение выборочного среднего с заданным значением ==
@@ Строка 76: / Строка 76: @@
 имеет [[распределение Стьюдента]] с  <tex>m+n-2</tex> степенями свободы,
 где
-::<tex>\displaystyle s_x^2  = \frac1{m-1} \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2,\;\; s_y^2  = \frac1{n-1} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar y \right)^2</tex> — выборочные дисперсии;
+::<tex>\displaystyle s^2  = \frac{(m-1)s_x^2+(n-1)s_y^2}{m+n-2},\;\; s_x^2  = \frac1{m-1} \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2,\;\; s_y^2  = \frac1{n-1} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar y \right)^2 </tex> — выборочные дисперсии;
-::<tex>\displaystyle s^2  = \frac{(m-1)s_x^2+(n-1)s_y^2}{m+n-2}</tex>;
 ::<tex>\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\;\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i</tex> — выборочные средние.
@@ Строка 94: / Строка 93: @@
 == Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях ==
-Задача сравнения средних двух нормально распределённых выборок при неизвестных и неравных дисперсиях известна как проблема Беренса-Фишера. Точного решения этой задачи до настоящего времени нет.  На практике используются различные приближения.
+Задача сравнения средних двух нормально распределённых выборок при неизвестных и неравных дисперсиях известна как проблема Беренса-Фишера.
+Точного решения этой задачи до настоящего времени нет.
+На практике используются различные приближения.
 Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.
@@ Строка 105: / Строка 106: @@
 ::<tex>t = \frac{\bar x - \bar y}{s}</tex>
 где
-::<tex>\displaystyle s_x^2 = \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2,\;\; s_y^2  = \frac1{n-1} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar y \right)^2</tex> — выборочные дисперсии;
+::<tex>\displaystyle s^2  = \frac1m{s_x^2}  + \frac1n{s_y^2},\;\; s_x^2 = \frac1{m-1}\sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2,\;\; s_y^2  = \frac1{n-1} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar y \right)^2 </tex> — выборочные дисперсии;
-::<tex>\displaystyle s^2  = \frac1m s_x^2 + \frac1n s_y^2</tex>;
 ::<tex>\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\;\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i</tex> — выборочные средние.
@@ Строка 119: / Строка 119: @@
 * против альтернативы <tex>H''_1:\; \bar x > \bar y</tex>
 ::если <tex> t > t'_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
-где
+где квантили <tex> t'_{\alpha} </tex> определяются по-разному в различных приближениях:
-::<tex> t'_{\alpha} = \frac{\nu_x t_{\alpha}(m-1) + \nu_y t_{\alpha}(n-1)}{\nu_x+\nu_y},\; \nu_x=\frac{s_x^2}m,\; \nu_y=\frac{s_y^2}n  </tex>;
+:* Критерий Кохрена-Кокса:
-::<tex> t_{\alpha}(f) </tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Стьюдента с <tex>f</tex> степенями свободы.
+::<tex> t'_{\alpha} = \frac{\nu_x t_{\alpha}(m-1) + \nu_y t_{\alpha}(n-1)}{\nu_x+\nu_y},\; \nu_x=\frac{s_x^2}m,\; \nu_y=\frac{s_y^2}n  </tex>, где <tex> t_{\alpha}(f) </tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Стьюдента с <tex>f</tex> степенями свободы;
+:* Критерий Сатервайта:
+::<tex> t'_{\alpha}</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Стьюдента с числом степеней свободы <tex>f = s^4\left( \frac1{1-m}\left(\frac{s_x^2}m\right)^2  + \frac1{1-n}\left(\frac{s_y^2}n\right)^2 \right)^{-1}.</tex>
+:* Критерий Крамера-Уэлча:
+::<tex> t'_{\alpha}</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Стьюдента с числом степеней свободы <tex>f = s^4\left( \frac1{1-m}\left(\frac{s_x^2}m\right)^2  + \frac1{1-n}\left(\frac{s_y^2}n\right)^2 \right)^{-1} - 2.</tex>
 == Сравнение двух выборочных средних в связанных выборках ==
+Заданы две выборки одинаковой длины <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.
+'''Дополнительные предположения:'''
+* обе выборки нормальны;
+* выборки связны, то есть элементы <tex>x_i,\: y_i</tex> соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).
+Сравнение выборочных средних в связанных выборках ничем не отличается от сравнения среднего разности <tex>d_i = x_i - y_i</tex> с нулём.
 == История ==
@@ Строка 138: / Строка 150: @@
 * [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A1%D1%82%D1%8C%D1%8E%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0 t-критерий Стьюдента] — статья в русской Википедии.
-{{Stub}}
 [[Категория:Статистические тесты]]
 [[Категория:Параметрические статистические тесты]]
 [[Категория:Популярные и обзорные статьи]]

Критерий Стьюдента

Материал из MachineLearning.

Версия 18:49, 12 августа 2008

Содержание

Сравнение выборочного среднего с заданным значением

Сравнение двух выборочных средних при известных дисперсиях

Сравнение двух выборочных средних при неизвестных равных дисперсиях

Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях

Сравнение двух выборочных средних в связанных выборках

История

Литература

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты