Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)
Материал из MachineLearning.
(→Введение) |
(→Построение квадратурных формул) |
||
Строка 43: | Строка 43: | ||
=== Построение квадратурных формул === | === Построение квадратурных формул === | ||
+ | |||
+ | :В силу вышеизложенного выше, вычисление приближенного значения интеграла производится при помощи квадратурной формулы | ||
+ | |||
+ | {{ Формула | ||
+ | |<center><tex>\int_a^b{f(s)ds}\approx\sum_{k=0}^m{c_kf(s_k)}.</tex></center> | ||
+ | |<tex>(5)</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | В общем случае узлы и веса неизвестны и подлежат определению. | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим случай, когда узлы заданы и требуется найти веса квадратурной формулы <tex>\{c_k\}</tex>. Будем пользоваться требованием: формула <tex>(5)</tex> должна быть точной для любого полинома <tex>P_r(s)</tex> степени <tex>r\le m</tex>. Для того чтобы полином степени <tex>r</tex> удовлетворял данному требованию, достаточно потребовать, чтобы квадратурная формула была точной для любого одночлена <tex>s^\sigma</tex> степени <tex>\sigma (\sigma=0,1,\ldots,r)</tex>. Учитывая, что <tex>J[s^\sigma]=\frac{1}{\sigma+1}</tex>, получаем <tex>m+1</tex> уравнение | ||
+ | |||
+ | <center><tex>c_0+c_1+\ldots+c_m=1,</tex></center> | ||
+ | <center><tex>c_0 s_0+c_1 s_1+\ldots+c_m s_m=\frac{1}{2},</tex></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><tex>.........................................</tex></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><tex>c_0 s_0^\sigma + c_1 s_1^\sigma + \ldots + c_m s_m^\sigma=\frac{1}{\sigma+1},</tex></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><tex>.........................................</tex></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><tex>c_0 s_0^m + c_1 s_1^m + \ldots + c_m s_m^m=\frac{1}{m+1}.</tex></center> | ||
+ | |||
+ | Эта система имеет единственное решение, так как ее определителем является определитель Вандермонда, отличный от нуля если нет совпадающих узлов, <tex>s_0<s_q<\ldots<s_m</tex>. | ||
+ | |||
+ | Так, полагая <tex>m=2,s_0=0,s_1=\frac{1}{2},s_2=1</tex>, имеем систему <tex>c_0+c_1+c_2=1, \frac{c_1}{2}+c_2=\frac{1}{2}, \frac{c_1}{4}+c_2=\frac{1}{3}</tex>, решением которой являются веса '''формулы Симпсона''': <tex>c_0=c_2=\frac{1}{6},c_1=\frac{4}{6}</tex>. Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени. Однако, в силу симметрии, она является точной и для всех полиномов третьей степени: | ||
== Изложение метода == | == Изложение метода == |
Версия 15:15, 26 сентября 2008
автор: Гордеев Дмитрий
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
- Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
|
где - заданная и интегрируемая на отрезке функция. На отрезке вводится сетка и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
|
где - значения функции в узлах , где - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора . Формула называется квадратурной формулой.
- Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов и таких весов , чтобы погрешность квадратурной формулы
|
была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина зависит от гладкости ). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов. Введем на равномерную сетку с шагом , т.е. множество точек , и представим интеграл в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
|
Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
|
на частичном отрезке и воспользоваться свойством .
Построение квадратурных формул
- В силу вышеизложенного выше, вычисление приближенного значения интеграла производится при помощи квадратурной формулы
|
В общем случае узлы и веса неизвестны и подлежат определению.
Рассмотрим случай, когда узлы заданы и требуется найти веса квадратурной формулы . Будем пользоваться требованием: формула должна быть точной для любого полинома степени . Для того чтобы полином степени удовлетворял данному требованию, достаточно потребовать, чтобы квадратурная формула была точной для любого одночлена степени . Учитывая, что , получаем уравнение
Эта система имеет единственное решение, так как ее определителем является определитель Вандермонда, отличный от нуля если нет совпадающих узлов, .
Так, полагая , имеем систему , решением которой являются веса формулы Симпсона: . Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени. Однако, в силу симметрии, она является точной и для всех полиномов третьей степени:
Изложение метода
Анализ метода
Числовой пример
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
- А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.