Методы прямоугольников и трапеций

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м (категория)
(→Введение)
Строка 1: Строка 1:
== Введение ==
== Введение ==
=== Постановка математической задачи ===
=== Постановка математической задачи ===
 +
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
 +
 +
{{ eqno | 1 }}
 +
<p align="center"><tex>J[f]=\int_a^b{f(x)dx},</tex></p>
 +
 +
где <tex>f(x)</tex> - заданная и интегрируемая на отрезке <tex>[a,b]</tex> функция. На отрезке вводится сетка <tex>\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\}</tex> и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
 +
 +
{{ eqno | 2 }}
 +
<p align="center"><tex>J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)},</tex></p>
 +
 +
где <tex>f(x_i)</tex> - значения функции <tex>f(x)</tex> в узлах <tex>x=x_i</tex> , где <tex>c_i</tex> - ''весовые множители'', зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора <tex>f(x)</tex>. Формула {{eqref|2}} называется ''квадратурной формулой''.
 +
 +
Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов <tex>\{x_i\}</tex> и таких весов <tex>\{c_i\}</tex>, чтобы ''погрешность квадратурной формулы''
 +
 +
<p align="center"><tex>D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]</tex></p>
 +
 +
была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина <tex>D[f]</tex> зависит от гладкости <tex>f(x)</tex>). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов.
 +
 +
Введем на <tex>[a,b]</tex> ''равномерную сетку с шагом <tex>h</tex>'', т.е. множество точек <tex>\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}</tex>, и представим интеграл {{eqref|1}} в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
 +
 +
{{ eqno | 3 }}
 +
<p align="center"><tex>\int_a^b{f(x)dx}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}}.</tex></p>
 +
 +
Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке <tex>[a,b]</tex> достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
 +
 +
{{ eqno | 4 }}
 +
<p align="center"><tex>\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}</tex></p>
 +
 +
на частичном отрезке <tex>[x_{i-1},x_i]</tex> и воспользоваться свойством {{eqref|3}}.
 +
 +
=== Формула прямоугольников ===
 +
Заменим интеграл {{eqref|3}} выражением <tex>f(x_{i-\frac{1}{2}})h</tex>, где <tex>x_{i-\frac{1}{2}}=x_{i}-0.5h.</tex>
 +
 +
Геометрически такая замена означает, что площадь криволинейной трапеции <tex>ABCD</tex> заменяется площадью прямоугольника <tex>ABC'D'</tex> (см. рис. 1). Тогда получим формулу
 +
 +
{{ eqno | 5 }}
 +
<p align="center"><tex>\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}\approx f(x_{i-\frac{1}{2}})h,</tex></p>
 +
 +
которая называется ''формулой прямоугольников на частичном отрезке'' <tex>[x_{i-1},x_i].</tex>
 +
 +
Погрешность метода {{eqref|5}} определяется величиной
 +
 +
<p align="center"><tex>\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-f(x_{i-\frac{1}{2}})h</tex></p>
 +
 +
которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем <tex>\psi_{i}</tex> в виде
 +
 +
{{ eqno | 6 }}
 +
<p align="center"><tex>\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{(f(x)-f(x_{i-\frac{1}{2}}))dx}</tex></p>
 +
 +
и воспользуемся разложением
 +
 +
<p align="center"><tex>f(x)=f(x_{i-\frac{1}{2}})+(x-x_{i-\frac{1}{2}})f'(x_{i-\frac{1}{2}})+\frac{(x-x_{i-\frac{1}{2}})^2}{2}f''(\psi),</tex></p>
== Изложение метода ==
== Изложение метода ==

Версия 15:08, 5 октября 2008

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла

( 1 )

J[f]=\int_a^b{f(x)dx},

где f(x) - заданная и интегрируемая на отрезке [a,b] функция. На отрезке вводится сетка \omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\} и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число

( 2 )

J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)},

где f(x_i) - значения функции f(x) в узлах x=x_i , где c_i - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора f(x). Формула (2) называется квадратурной формулой.

Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов \{x_i\} и таких весов \{c_i\}, чтобы погрешность квадратурной формулы

D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]

была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина D[f] зависит от гладкости f(x)). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов.

Введем на [a,b] равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек \omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}, и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

( 3 )

\int_a^b{f(x)dx}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}}.

Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке [a,b] достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

( 4 )

\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}

на частичном отрезке [x_{i-1},x_i] и воспользоваться свойством (3).

Формула прямоугольников

Заменим интеграл (3) выражением f(x_{i-\frac{1}{2}})h, где x_{i-\frac{1}{2}}=x_{i}-0.5h.

Геометрически такая замена означает, что площадь криволинейной трапеции ABCD заменяется площадью прямоугольника ABC'D' (см. рис. 1). Тогда получим формулу

( 5 )

\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}\approx f(x_{i-\frac{1}{2}})h,

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке [x_{i-1},x_i].

Погрешность метода (5) определяется величиной

\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-f(x_{i-\frac{1}{2}})h

которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем \psi_{i} в виде

( 6 )

\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{(f(x)-f(x_{i-\frac{1}{2}}))dx}

и воспользуемся разложением

f(x)=f(x_{i-\frac{1}{2}})+(x-x_{i-\frac{1}{2}})f'(x_{i-\frac{1}{2}})+\frac{(x-x_{i-\frac{1}{2}})^2}{2}f''(\psi),

Изложение метода

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B9»
Личные инструменты