Участник:Lr2k/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 17:12, 13 октября 2008

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка математической задачи
2 Изложение метода
- 2.1 Метод прогонки
3 Числовой пример
4 Рекомендации программисту
- 4.1 Автоматический выбор шага интегрирования
5 Заключение
6 Список литературы

Введение

Постановка математической задачи

Одной из основных задач численного анализа является задача об интерполяции функций. Пусть на отрезке $a\le \x\le \b$ задана сетка $\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\cdots<x_i<\cdots<x_n=b\}$ и в её узлах заданы значения функции $y(x)$ , равные $y(x_0)=y_0,\cdots,y(x_i)=y_i,\cdots,y(x_n)=y_n$ . Требуется построить интерполянту — функцию $f(x)$ , совпадающую с функцией $y(x)$ в узлах сетки:

( 1 )

$f(x_i)=y_i, i=0,1,\cdots,n.$

Основная цель интерполяции — получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений $f(x)$ для значений $x$ , не содержащихся в таблице данных.

Интерполируюшие функции $f(x)$ , как правило строятся в виде линейных комбинаций некоторых элементарных функций:

$f(x)=\sum_{k=0}^N {c_k\Phi_k(x)},$

где $\{\Phi_k(x)\}$ — фиксированный линейно независимые функции, $c_0, c_1, \cdots, c_n$ — не определенные пока коэффициенты.

Из условия (1) получаем систему из $n+1$ уравнений относительно коэффициентов $\{c_k\}$ :

$\sum_{k=0}^N {c_k\Phi_k(x_i)}=y_i, i=0,1,\cdots,n.$

Предположим, что система функций $\Phi_k(x)$ такова, что при любом выборе узлов $a<x_1<\cdots<x_i<\cdots<x_n=b$ отличен от нуля определитель системы:

$\Delta(\Phi) = \begin{vmatrix} \Phi_0(x_0) & \Phi_1(x_0) & \cdots & \Phi_n(x_0) \\\Phi_0(x_1) & \Phi_1(x_1) & \cdots & \Phi_n(x_1)\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\\Phi_0(x_n) & \Phi_1(x_n) & \cdots & \Phi_n(x_n)\end{vmatrix}$ .

Тогда по заданным $y_i (i=1,\cdots, n)$ однозначно определяются коэффициенты $c_k (k=1,\cdots, n)$ .

Изложение метода

Интерполяция кубическими сплайнами является частным случаем кусочно-полиномиальной интерполцией. В этом специальном случае между любыми двумя соседними узлами функция интерполируется кубическим полиномом. его коэффициенты на каждом интервале определяются из условий сопряжения в узлах:

$f_i=y_i, f'(x_i-0)=f'(x_i+0), f''(x_i-0)=f''(x_i+0), i=1, 2, \cdots, n-1.$

Кроме того, на границе при $x=x_0$ и $x=x_n$ ставятся условия

( 2 )

$f''(x_0)=0, f''(x_n)=0.$

Будем искать кубический полином в виде

( 3 )

$f(x)=a_i+b_i(x-x_{i-1})+c_i(x-x_{i-1})^2+d_i(x-x_{i-1})^3, x_{i-1}\le \x\le \x_i.$

Из условия $f_i=y_i$ имеем

( 4 )

$f(x_{i-1})=a_i=y_{i-1}, f(x_i)=a_i+b_ih_i+c_ih_i^2+d_ih_i^3=y_i, h_i=x_i-x_{i-1}, i=1, 2, \cdots, n-1.$

Вычислим производные:

$f'(x)=b_i+2c_i(x-x_{i-1})+3d_i(x-x_{i-1})^2, f''(x)=2c_i+6d_i(x-x_{i-1}), x_{i-1}\le \x\le \x_i,$

и потребуем их непрерывности при $x=x_i$ :

( 5 )

$b_{i+1}=b_i+2c_ih_i + 3d_ih_i^2, c_{i+1}=c_i+3d_ih_i, i=1, 2, \cdots, n-1.$

Общее число неизвестных коэффициентов, очевидно, равно $4n$ , число уравнений (4) и (5) равно $4n-2$ . Недостающие два уравнения получаем из условия (2) при $x=x_0$ и $x=x_n$ :

$c_1=0, c_n+3d_nh_n=0.$

Выражение из (5) $d_i=\frac{c_{i+1}-c_i}{3h_i}$ , подставляя это выражение в (4) и исключая $a_i=y_{i-1}$ , получим

$b_i=\[\frac{y_i-y_{i-1}}h_i\]-\frac{1}{3}h_i(c_{i+1}+2c_i), i=1, 2, \cdots, n-1, b_n=\[\frac{y_n-y_{n-1}}h_n\]-\frac{2}{3}h_nc_n,.$

Подставив теперь выражения для $b_i, b_{i+1}$ и $d_i$ в первую формулу (5), после несложных преобразований получаем для определения $c_i$ разностное уравнение второго порядка

( 6 )

$h_ic_i+2(h_i+h_{i+1})c_{i+1}+h_{i+1}c_{i+2}=s\left(\frac{y_{i+1}-y_i}{h_{i+1}} - \frac{y_{i+1}-y_i}{h_{i+1}}\right), i=1, 2, \cdots, n-1.$

С краевыми условиями

( 7 )

$c_1=0, c_{n+1}=0.$

Условие $c_{n+1}=0$ эквивалентно условию $c_n+3d_nh_n=0$ и уравнению $c_{i+1} = c_i+d_ih_i$ . Разностное уравнение (6) с условиями (7) можно решить методом прогонки, представив в виде системы линейных алгебраических уравнений вида $~A*x=F$ , где матрица $~A$ имеет следующий вид:

$A = \begin{pmatrix} C_1 & B_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ A_2 & C_2 & B_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & A_3 & C_3 & B_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & B_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & A_{n} & C_{n} \end{pmatrix}, где A_i=h_i, i=2, \cdots, n, B_i = h_{i+1}, i=1, \cdots, n-1 и C_i=2(h_i+h_{i+1}), i =1, \cdots, n$

Метод прогонки

Трёхдиагональной матрицей называют матрицу следующего вида:

<math>A = \begin{pmatrix} C_1 & B_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0

                        \\ A_2 & C_2 & B_2 & 0   & \cdots & 0 & 0
                        \\ 0   & A_3 & C_3 & B_3 & \cdots & 0 & 0 
                        \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots 
                        \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots 
                        \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & B_{n-1}
                        \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & A_{n} & C_{n}
           \end{pmatrix}
 </math>.

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математики и физики. Краевые условия <math>x_1</math> и <math>x_n</math>, которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так краевое условие первого рода <math>F(x=x_1)=F_1</math> определит перую строку в виде <math>C_1=1</math>, <math>B_1=0</math>, а условие второго рода <math>dF/dx(x=x_1)=F_1</math> будет соответствовать значениям <math>C_1=-1</math>, <math>B_1=1</math>.

Для решения систем вида <math>~A*x=F</math> используется метод прогонки, основанный на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:

<math>x_i = \alpha_{i+1}x_{i+1} + \beta_{i+1}\,\!

 </math>     , где <math>~i=1,n-1</math>                                     (1)

Используя это соотношение, выразим x_i-1 и x_i через x_i+1 и подставим в i-e уравнение:

<math>

  \left(A_i\alpha_i\alpha_{i+1} + C_i\alpha_{i+1} + B_i\right)x_{i+1} + A_i\alpha_i\beta_{i+1} + A_i\beta_i + C_i\beta_{i+1} - F_i = 0
 </math>,

где F_i - правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать

<math>\begin{matrix}

  A_i\alpha_i\alpha_{i+1} + C_i\alpha_{i+1} + B_i = 0\end{matrix}</math>

<math>\begin{matrix}

  A_i\alpha_i\beta_{i+1} + A_i\beta_i + C_i\beta_{i+1} - F_i = 0
 \end{matrix}</math>

Отсюда следует:

<math>

  \alpha_{i+1} = {-B_i \over A_i\alpha_i + C_i}\,\!
 </math>

<math>

  \beta_{i+1} = {F_i - A_i\beta_i \over A_i\alpha_i + C_i}
 \,\!</math>

Из первого уравнения получим:

<math>

  \alpha_2 = {-B_1 \over C_1}
 \,\!</math>.

<math>

  \beta_2 = {F_1 \over C_1}
 \,\!</math>.

После нахождения прогоночных коэффициентов <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, используя уравнение (1), получим решение системы. При этом,

<math>

  x_n = {F_n-A_n\beta_n \over C_n+A_n\alpha_n} \,\!
 </math>

Числовой пример

Вычислим по формулам прямоугольников и трапеций при $n=2$ интеграл

( 14 )

$I=\int_{0}^{\pi/2}{\sin(x)dx} = 1$

В данном случае

$P_2=\frac{\pi}{4}(\sin(\frac{\pi}{8})+\sin(\frac{3\pi}{8}))=1.026172$

$T_2=\frac{\pi}{4}(\frac{1}{2}\sin(0)+\sin(\frac{\pi}{4})+\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}))=0.948059$

Зная точный ответ (14), найдем погрешности

( 15 )

$\alpha_2=-0.026172,\beta_2=0.051941$

Вторая производная функции $\sin(x)$ на отрезке $[0,\pi/2]$ отрицательна, ее модуль не превышает единицы: $M_2=1$ . Величина погрешностей (15) удовлетворяет неравенствам (9) и (13):

$|\alpha_2|\le \frac{1}{96}(\frac{\pi}{2})^3<0.041,|\beta_2|\le \frac{1}{48}(\frac{\pi}{2})^3<0.081$

Рекомендации программисту

Автоматический выбор шага интегрирования

Величина погрешности численного интегрирования зависит как от шага сетки $h$ , так и от гладкости подынтегральной функции $f(x)$ . Например, в оценку (11), наряду с $h$ , входит величина

$M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|,$

которая может сильно меняться от точки к точке и, вообще говоря, заранее неизвестна. Если величина погрешности велика, то ее можно уменьшить путем измельчения сетки на данном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ . Для этого прежде всего надо уметь апостериорно, т.е. после проведения расчета, оценивать погрешность.

Апостериорную оценку погрешности можно осуществить методом Рунге. Пусть какая-то квадратурная формула имеет на частичном отрезке порядок точности $m$ , т.е. $I_i-I_{h,i}\approx c_i h_i^m$ . Тогда

$I_i-I_{h/2,i}\approx c_i (\frac{h_i}{2})^m,$

откуда получим

( 16 )

$I_i-I_{h,i}\approx 2^m (I_i-I_{h/2,i}),$

( 17 )

$I_i-I_{h/2,i}\approx \frac{I_{h/2,i}-I_{h,i}}{2^m-1}$

Возможность апостериорно оценивать погрешность позволяет вычислять интеграл (1) с заданной точностью $\epsilon >0$ путем автоматического выбора шага интегрирования $h_i$ . Пусть используется составная квадратурная формула

$I\approx I_h=\sum_{i=1}^N{I_{h,i}}$

где $I_{h,i}$ - квадратурная сумма на частичном отрезке, причем на каждом частичном отрезке используется одна и та же квадратурная формула (например, формула трапеций). Проведем на каждом частичном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ все вычисления дважды, один раз - с шагом $h_i$ и второй раз - с шагом $0.5h_i$ и оценим погрешность по правилу Рунге (17).

Если для заданного $\epsilon >0$ будут выполняться неравенства

( 18 )

$|I_i-I_{h/2,i}|\approx \frac{|I_{h/2,i}-I_{h,i}|}{2^m-1} \le \frac{\epsilon h_i}{b-a},i=1,2,...,N,$

то получим

$|I-I_h/2|\le \frac{\epsilon}{b-a}\sum_{i=1}^N{h,i}=\epsilon,$

т.е. будет достигнута заданная точность $\epsilon$ .

Если же на каком-то из частичных отрезков оценка (18) не будет выполняться, то шаг на этом отрезке надо измельчить еще в два раза и снова оценить погрешность. Измельчение сетки на данном отрезке следует проводить до тех пор, пока не будет достигнута оценка вида (18). Заметим, что для некоторой функции $f(x)$ такое измельчение может продолжаться слишком долго. Поэтому в соответствующей программе следует предусмотреть ограничение сверху на число измельчений,а также вожможность увеличения $\epsilon$ .

Таким образом, автоматический выбор шага интегрирования приводит к тому, что интегрирование ведется с крупным шагом на участках плавного изменения функции $f(x)$ и с мелким шагом - на участках быстрого изменения $f(x)$ . Это позволяет при заданной точности $\epsilon$ уменьшить количество вычислений значений $f(x)$ по сравнению с расчетом на сетке с постоянным шагом. Подчеркнем, что для нахождения сумм $I_{h/2,i}$ не надо пересчитывать значения $f(x)$ во всех узлах, достаточно вычислять $f(x)$ только в новых узлах.

Заключение

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Lr2k/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

Категории: Незавершённые статьи | Численное интегрирование

@@ Строка 19: / Строка 19: @@
 Предположим, что система функций <tex>\Phi_k(x)</tex> такова, что при любом выборе узлов <tex>a<x_1<\cdots<x_i<\cdots<x_n=b</tex> отличен от нуля определитель системы:
-<p align="center"><tex>\Delta(\Phi) = \begin{vmatrix} \Phi_0(x_0) & \Phi_1(x_0) & \cdots & \Phi_n(x_0) \\\Phi_0(x_1) & \Phi_1(x_1) & \cdots & \Phi_n(x_1)\\ \hdots{4}  \\\Phi_0(x_n) & \Phi_1(x_n) & \cdots & \Phi_n(x_n)\end{vmatrix}</tex>.</p>
+<p align="center"><tex>\Delta(\Phi) = \begin{vmatrix} \Phi_0(x_0) & \Phi_1(x_0) & \cdots & \Phi_n(x_0) \\\Phi_0(x_1) & \Phi_1(x_1) & \cdots & \Phi_n(x_1)\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\\Phi_0(x_n) & \Phi_1(x_n) & \cdots & \Phi_n(x_n)\end{vmatrix}</tex>.</p>
 Тогда по заданным <tex>y_i (i=1,\cdots, n)</tex> однозначно определяются коэффициенты <tex>c_k (k=1,\cdots, n)</tex>.
@@ Строка 76: / Строка 76: @@
 <p align="center"><tex>c_1=0, c_{n+1}=0.</tex></p>
-Условие <tex>c_{n+1}=0</tex> эквивалентно условию <tex>c_n+3d_nh_n=0</tex> и уравнению <tex>c_{i+1} = c_i+d_ih_i</tex>. Разностное уравнение {{eqref|6}} с условиями {{eqref|7}} можно решить методом прогонки, представив в виде системы линейных алгебраических уравнений вида <tex>~A*x=F</tex>, где
+Условие <tex>c_{n+1}=0</tex> эквивалентно условию <tex>c_n+3d_nh_n=0</tex> и уравнению <tex>c_{i+1} = c_i+d_ih_i</tex>. Разностное уравнение {{eqref|6}} с условиями {{eqref|7}} можно решить методом прогонки, представив в виде системы линейных алгебраических уравнений вида <tex>~A*x=F</tex>, где матрица <tex>~A</tex> имеет следующий вид:
+<p align="center"><tex>A = \begin{pmatrix} C_1 & B_1 & 0   & 0   & \cdots & 0 & 0
+                         \\ A_2 & C_2 & B_2 & 0   & \cdots & 0 & 0
+                         \\ 0   & A_3 & C_3 & B_3 & \cdots & 0 & 0
+                         \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
+                         \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
+                         \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & B_{n-1}
+                         \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & A_{n} & C_{n}
+            \end{pmatrix}, где A_i=h_i, i=2, \cdots, n, B_i = h_{i+1}, i=1, \cdots, n-1 и C_i=2(h_i+h_{i+1}), i =1, \cdots, n</tex></p>

Участник:Lr2k/Песочница

Материал из MachineLearning.

Версия 17:12, 13 октября 2008

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Изложение метода

Метод прогонки

Числовой пример

Рекомендации программисту

Автоматический выбор шага интегрирования

Заключение

Список литературы

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты