Участник:Lr2k/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 3: Строка 3:
=== Постановка математической задачи ===
=== Постановка математической задачи ===
-
Одной из основных задач численного анализа является задача об интерполяции функций.
+
Одной из значения функции <tex>y(x)</tex>, равные <tex>y(x_0)=y_0,\cdots,y(x_i)=y_i,\cdots,y(x_n)=y_n</tex>. Требуется построить ''иносновных задач численного анализа является задача об интерполяции функций.
-
Пусть на отрезке <tex>a\le \x\le \b</tex> задана сетка <tex>\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\cdots<x_i<\cdots<x_n=b\}</tex> и в её узлах заданы значения функции <tex>y(x)</tex>, равные <tex>y(x_0)=y_0,\cdots,y(x_i)=y_i,\cdots,y(x_n)=y_n</tex>. Требуется построить ''интерполянту'' — функцию <tex>f(x)</tex>, совпадающую с функцией <tex>y(x)</tex> в узлах сетки:
+
Пусть на отрезке <tex>a\le \x\le \b</tex> задана сетка <tex>\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\cdots<x_i<\cdots<x_n=b\}</tex> и в её узлах заданы
 +
терполянту'' — функцию <tex>f(x)</tex>, совпадающую с функцией <tex>y(x)</tex> в узлах сетки:
{{ eqno | 1 }}
{{ eqno | 1 }}
<p align="center"><tex>f(x_i)=y_i, i=0,1,\cdots,n.</tex></p>
<p align="center"><tex>f(x_i)=y_i, i=0,1,\cdots,n.</tex></p>
Строка 113: Строка 114:
== Числовой пример ==
== Числовой пример ==
-
Вычислим по формулам прямоугольников и трапеций при <tex>n=2</tex> интеграл
+
Построим интерполянту для для функции <tex>ftex> заданой следующим образом:
-
 
+
{| class="wikitable"
-
{{ eqno | 14 }}
+
|-
-
<p align="center"><tex>I=\int_{0}^{\pi/2}{\sin(x)dx} = 1</tex></p>
+
! <tex>xtex>
-
 
+
! <tex>f(x)</tex>
-
В данном случае
+
|-
-
 
+
| 1
-
 
+
| 1.0002
-
<p align="center"><tex>P_2=\frac{\pi}{4}(\sin(\frac{\pi}{8})+\sin(\frac{3\pi}{8}))=1.026172</tex></p>
+
|-
-
 
+
| 2
-
<p align="center"><tex>T_2=\frac{\pi}{4}(\frac{1}{2}\sin(0)+\sin(\frac{\pi}{4})+\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}))=0.948059</tex></p>
+
| 1.0341
-
 
+
|-
-
Зная точный ответ (14), найдем погрешности
+
| 3
-
 
+
| 0.6
-
{{ eqno | 15 }}
+
|-
-
<p align="center"><tex>\alpha_2=-0.026172,\beta_2=0.051941</tex></p>
+
| 4
-
 
+
| 0.40105
-
Вторая производная функции <tex>\sin(x)</tex> на отрезке <tex>[0,\pi/2]</tex> отрицательна, ее модуль не превышает единицы: <tex>M_2=1</tex>. Величина погрешностей (15) удовлетворяет неравенствам (9) и (13):
+
|-
-
 
+
| 5
-
<p align="center"><tex>|\alpha_2|\le \frac{1}{96}(\frac{\pi}{2})^3<0.041,|\beta_2|\le \frac{1}{48}(\frac{\pi}{2})^3<0.081</tex></p>
+
| 0.1
-
 
+
|-
 +
| 6
 +
| 0.23975
 +
|}
 +
[[Изображение:graph1.png|thumb]]
== Рекомендации программисту ==
== Рекомендации программисту ==
-
=== Автоматический выбор шага интегрирования ===
 
-
 
-
Величина погрешности численного интегрирования зависит как от шага сетки <tex>h</tex>, так и от гладкости подынтегральной функции <tex>f(x)</tex>. Например, в оценку (11), наряду с <tex>h</tex>, входит величина
 
-
 
-
<p align="center"><tex>M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|,</tex></p>
 
-
 
-
которая может сильно меняться от точки к точке и, вообще говоря, заранее неизвестна. Если величина погрешности велика, то ее можно уменьшить путем измельчения сетки на данном отрезке <tex>[x_{i-1},x_i]</tex>. Для этого прежде всего надо уметь апостериорно, т.е. после проведения расчета, оценивать погрешность.
 
-
 
-
Апостериорную оценку погрешности можно осуществить ''методом Рунге''. Пусть какая-то квадратурная формула имеет на частичном отрезке порядок точности <tex>m</tex>, т.е. <tex>I_i-I_{h,i}\approx c_i h_i^m</tex>. Тогда
 
-
 
-
<p align="center"><tex>I_i-I_{h/2,i}\approx c_i (\frac{h_i}{2})^m,</tex></p>
 
-
 
-
откуда получим
 
-
 
-
{{ eqno | 16 }}
 
-
<p align="center"><tex>I_i-I_{h,i}\approx 2^m (I_i-I_{h/2,i}),</tex></p>
 
-
 
-
{{ eqno | 17 }}
 
-
<p align="center"><tex>I_i-I_{h/2,i}\approx \frac{I_{h/2,i}-I_{h,i}}{2^m-1}</tex></p>
 
-
 
-
Возможность апостериорно оценивать погрешность позволяет вычислять интеграл (1) с заданной точностью <tex>\epsilon >0</tex> путем автоматического выбора шага интегрирования <tex>h_i</tex>. Пусть используется составная квадратурная формула
 
-
 
-
<p align="center"><tex>I\approx I_h=\sum_{i=1}^N{I_{h,i}}</tex></p>
 
-
 
-
где <tex>I_{h,i}</tex> - квадратурная сумма на частичном отрезке, причем на каждом частичном отрезке используется одна и та же квадратурная формула (например, формула трапеций). Проведем на каждом частичном отрезке <tex>[x_{i-1},x_i]</tex> все вычисления дважды, один раз - с шагом <tex>h_i</tex> и второй раз - с шагом <tex>0.5h_i</tex> и оценим погрешность по правилу Рунге (17).
 
-
 
-
Если для заданного <tex>\epsilon >0</tex> будут выполняться неравенства
 
-
 
-
{{ eqno | 18 }}
 
-
<p align="center"><tex>|I_i-I_{h/2,i}|\approx \frac{|I_{h/2,i}-I_{h,i}|}{2^m-1} \le \frac{\epsilon h_i}{b-a},i=1,2,...,N,</tex></p>
 
-
 
-
то получим
 
-
 
-
<p align="center"><tex>|I-I_h/2|\le \frac{\epsilon}{b-a}\sum_{i=1}^N{h,i}=\epsilon,</tex></p>
 
-
 
-
т.е. будет достигнута заданная точность <tex>\epsilon</tex>.
 
-
 
-
Если же на каком-то из частичных отрезков оценка (18) не будет выполняться, то шаг на этом отрезке надо измельчить еще в два раза и снова оценить погрешность. Измельчение сетки на данном отрезке следует проводить до тех пор, пока не будет достигнута оценка вида (18). Заметим, что для некоторой функции <tex>f(x)</tex> такое измельчение может продолжаться слишком долго. Поэтому в соответствующей программе следует предусмотреть ограничение сверху на число измельчений,а также вожможность увеличения <tex>\epsilon</tex>.
 
-
 
-
Таким образом, автоматический выбор шага интегрирования приводит к тому, что интегрирование ведется с крупным шагом на участках плавного изменения функции <tex>f(x)</tex> и с мелким шагом - на участках быстрого изменения <tex>f(x)</tex>. Это позволяет при заданной точности <tex>\epsilon</tex> уменьшить количество вычислений значений <tex>f(x)</tex> по сравнению с расчетом на сетке с постоянным шагом. Подчеркнем, что для нахождения сумм <tex>I_{h/2,i}</tex> не надо пересчитывать значения <tex>f(x)</tex> во всех узлах, достаточно вычислять <tex>f(x)</tex> только в новых узлах.
 
== Заключение ==
== Заключение ==

Версия 19:46, 13 октября 2008

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Одной из значения функции y(x), равные y(x_0)=y_0,\cdots,y(x_i)=y_i,\cdots,y(x_n)=y_n. Требуется построить иносновных задач численного анализа является задача об интерполяции функций. Пусть на отрезке a\le \x\le \b задана сетка \omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\cdots<x_i<\cdots<x_n=b\} и в её узлах заданы терполянту — функцию f(x), совпадающую с функцией y(x) в узлах сетки:

( 1 )

f(x_i)=y_i, i=0,1,\cdots,n.

Основная цель интерполяции — получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений f(x) для значений x, не содержащихся в таблице данных.

Интерполируюшие функции f(x), как правило строятся в виде линейных комбинаций некоторых элементарных функций:

f(x)=\sum_{k=0}^N {c_k\Phi_k(x)},

где \{\Phi_k(x)\} — фиксированный линейно независимые функции, c_0, c_1, \cdots, c_n — не определенные пока коэффициенты.

Из условия (1) получаем систему из n+1 уравнений относительно коэффициентов \{c_k\}:

\sum_{k=0}^N {c_k\Phi_k(x_i)}=y_i, i=0,1,\cdots,n.

Предположим, что система функций \Phi_k(x) такова, что при любом выборе узлов a<x_1<\cdots<x_i<\cdots<x_n=b отличен от нуля определитель системы:

\Delta(\Phi) = \begin{vmatrix} \Phi_0(x_0) & \Phi_1(x_0) & \cdots & \Phi_n(x_0) \\\Phi_0(x_1) & \Phi_1(x_1) & \cdots & \Phi_n(x_1)\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\\Phi_0(x_n) & \Phi_1(x_n) & \cdots & \Phi_n(x_n)\end{vmatrix}.

Тогда по заданным y_i (i=1,\cdots, n) однозначно определяются коэффициенты c_k (k=1,\cdots, n).

Изложение метода

Интерполяция кубическими сплайнами является частным случаем кусочно-полиномиальной интерполцией. В этом специальном случае между любыми двумя соседними узлами функция интерполируется кубическим полиномом. его коэффициенты на каждом интервале определяются из условий сопряжения в узлах:

f_i=y_i, f'(x_i-0)=f'(x_i+0), f''(x_i-0)=f''(x_i+0), i=1, 2, \cdots, n-1.

Кроме того, на границе при x=x_0 и x=x_n ставятся условия

( 2 )

f''(x_0)=0, f''(x_n)=0.

Будем искать кубический полином в виде

( 3 )

f(x)=a_i+b_i(x-x_{i-1})+c_i(x-x_{i-1})^2+d_i(x-x_{i-1})^3, x_{i-1}\le \x\le \x_i.

Из условия f_i=y_i имеем

( 4 )

f(x_{i-1})=a_i=y_{i-1}, f(x_i)=a_i+b_ih_i+c_ih_i^2+d_ih_i^3=y_i, h_i=x_i-x_{i-1}, i=1, 2, \cdots, n-1.

Вычислим производные:

f'(x)=b_i+2c_i(x-x_{i-1})+3d_i(x-x_{i-1})^2, f''(x)=2c_i+6d_i(x-x_{i-1}), x_{i-1}\le \x\le \x_i,

и потребуем их непрерывности при x=x_i:

( 5 )

b_{i+1}=b_i+2c_ih_i + 3d_ih_i^2, c_{i+1}=c_i+3d_ih_i, i=1, 2, \cdots, n-1.

Общее число неизвестных коэффициентов, очевидно, равно 4n, число уравнений (4) и (5) равно 4n-2. Недостающие два уравнения получаем из условия (2) при x=x_0 и x=x_n:

c_1=0, c_n+3d_nh_n=0.

Выражение из (5) d_i=\frac{c_{i+1}-c_i}{3h_i}, подставляя это выражение в (4) и исключая a_i=y_{i-1}, получим

b_i=\[\frac{y_i-y_{i-1}}h_i\]-\frac{1}{3}h_i(c_{i+1}+2c_i), i=1, 2, \cdots, n-1, b_n=\[\frac{y_n-y_{n-1}}h_n\]-\frac{2}{3}h_nc_n,.

Подставив теперь выражения для b_i, b_{i+1} и d_i в первую формулу (5), после несложных преобразований получаем для определения c_i разностное уравнение второго порядка

( 6 )

h_ic_i+2(h_i+h_{i+1})c_{i+1}+h_{i+1}c_{i+2}=s\left(\frac{y_{i+1}-y_i}{h_{i+1}} - \frac{y_{i+1}-y_i}{h_{i+1}}\right), i=1, 2, \cdots, n-1.

С краевыми условиями

( 7 )

c_1=0, c_{n+1}=0.

Условие c_{n+1}=0 эквивалентно условию c_n+3d_nh_n=0 и уравнению c_{i+1} = c_i+d_ih_i. Разностное уравнение (6) с условиями (7) можно решить методом прогонки, представив в виде системы линейных алгебраических уравнений вида ~A*x=F, где вектор x соответствует вектору \{c_i\}, вектор F поэлементно равен правой части уравнения (6), а матрица ~A имеет следующий вид:

A = \begin{pmatrix} C_1 & B_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ A_2 & C_2 & B_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & A_3 & C_3 & B_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & B_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & A_{n} & C_{n} \end{pmatrix},

где A_i=h_i, i=2, \cdots, n, B_i = h_{i+1}, i=1, \cdots, n-1 и C_i=2(h_i+h_{i+1}), i =1, \cdots, n.

Метод прогонки

Метод прогонки, основан на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:

( 8 )

x_i = \alpha_{i+1}x_{i+1} + \beta_{i+1}\, i=1,\cdots,n-1

 Используя это соотношение, выразим x_{i-1} и x_i через x_{i+1} и подставим

в i-e уравнение:

\left(A_i\alpha_i\alpha_{i+1} + C_i\alpha_{i+1} + B_i\right)x_{i+1} + A_i\alpha_i\beta_{i+1} + A_i\beta_i + C_i\beta_{i+1} - F_i = 0

,

где F_i - правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать

A_i\alpha_i\alpha_{i+1} + C_i\alpha_{i+1} + B_i = 0

A_i\alpha_i\beta_{i+1} + A_i\beta_i + C_i\beta_{i+1} - F_i = 0

Отсюда следует:

\alpha_{i+1} = {-B_i \over A_i\alpha_i + C_i}\

\beta_{i+1} = {F_i - A_i\beta_i \over A_i\alpha_i + C_i}

Из первого уравнения получим:

\alpha_2 = {-B_1 \over C_1}

\beta_2 = {F_1 \over C_1}

После нахождения прогоночных коэффициентов \alpha и \beta, используя уравнение (1), получим решение системы. При этом,

x_n = {F_n-A_n\beta_n \over C_n+A_n\alpha_n}

Числовой пример

Построим интерполянту для для функции xtex> ! f(x)" alt= "ftex> заданой следующим образом: {| class="wikitable" |- ! xtex> ! f(x)" /> |- | 1 | 1.0002 |- | 2 | 1.0341 |- | 3 | 0.6 |- | 4 | 0.40105 |- | 5 | 0.1 |- | 6 | 0.23975 |}

Изображение:Graph1.png

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

  • А.А.Самарский, А.В.Гулин.  Численные методы М.: Наука, 1989.
  • А.А.Самарский.  Введение в численные методы М.: Наука, 1982.
  • Костомаров Д.П., Фаворский А.П.  Вводные лекции по численным методам
Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Lr2k/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»
Личные инструменты