Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2015, ФУПМ/1
Материал из MachineLearning.
м |
м |
||
Строка 7: | Строка 7: | ||
::Лийко: <tex>F_1 = U\left[0,1\right], \;\; F_2 = U\left[a,a+1\right]</tex> — непрерывные равномерные распределения; <tex>a = 0\,:\,0.02\,:\,3, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70.</tex> Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса (функция cvm.test с параметром type="W2" в пакете dgof). | ::Лийко: <tex>F_1 = U\left[0,1\right], \;\; F_2 = U\left[a,a+1\right]</tex> — непрерывные равномерные распределения; <tex>a = 0\,:\,0.02\,:\,3, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70.</tex> Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса (функция cvm.test с параметром type="W2" в пакете dgof). | ||
::Ефимова: <tex>F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = N(\mu,\sigma^2), \;\; \mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=n_2=30.</tex> Сравнить критерии Смирнова и Андерсона (функция cvm.test с параметром type="A2" в пакете dgof). | ::Ефимова: <tex>F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = N(\mu,\sigma^2), \;\; \mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=n_2=30.</tex> Сравнить критерии Смирнова и Андерсона (функция cvm.test с параметром type="A2" в пакете dgof). | ||
- | ::Игнатов: <tex>F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[- | + | ::Игнатов: <tex>F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]; \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70.</tex> Сравнить критерии Смирнова и Андерсона (функция cvm.test с параметром type="A2" в пакете dgof). |
* <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;</tex> <br> <tex> H_0\,:\; X \sim N,</tex> <br> <tex>H_1\,:\; H_0 </tex> неверна. | * <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;</tex> <br> <tex> H_0\,:\; X \sim N,</tex> <br> <tex>H_1\,:\; H_0 </tex> неверна. | ||
Строка 23: | Строка 23: | ||
* Одновыборочный [[критерий Стьюдента|t-критерий]], нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot F; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X=0</tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X\neq0;</tex> <br><tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> <br> | * Одновыборочный [[критерий Стьюдента|t-критерий]], нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot F; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X=0</tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X\neq0;</tex> <br><tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> <br> | ||
- | ::Рубцовенко: <tex>F = U\left[- | + | ::Рубцовенко: <tex>F = U\left[-\sqrt{3}+\mu, \sqrt{3}+\mu\right]</tex> — непрерывное равномерное распределение; <tex>n=30.</tex> |
::Родина: <tex>F = C\left(\mu,1\right)</tex> — распределение Коши с коэффициентом сдвига <tex>\mu</tex> и коэффициентом масштаба <tex>1; \;\; n=30.</tex> | ::Родина: <tex>F = C\left(\mu,1\right)</tex> — распределение Коши с коэффициентом сдвига <tex>\mu</tex> и коэффициентом масштаба <tex>1; \;\; n=30.</tex> | ||
Строка 30: | Строка 30: | ||
* [[Критерий Фишера]] для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1^2)+ \left(1-p_1\right)\cdot F_1, </tex> <br> <tex> X_2^{n_2},\;\; X_{2} \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2^2)+ \left(1-p_2\right)\cdot F_2; </tex> <br> <tex>H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},</tex> <br> <tex>H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2};</tex> <br> <tex>\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2.</tex> <br> | * [[Критерий Фишера]] для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1^2)+ \left(1-p_1\right)\cdot F_1, </tex> <br> <tex> X_2^{n_2},\;\; X_{2} \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2^2)+ \left(1-p_2\right)\cdot F_2; </tex> <br> <tex>H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},</tex> <br> <tex>H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2};</tex> <br> <tex>\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2.</tex> <br> | ||
- | ::Чжен: <tex>F_1 = U\left[- | + | ::Чжен: <tex>F_1 = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]</tex> — непрерывное равномерное распределение; <tex>p_1=0.7, \;\; p_2 = 1, \;\; n_1=5\,:\,1\,:\,70, \;\; n_2=30, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2.</tex> |
- | ::Плавин: <tex>F_1 = U\left[- | + | ::Плавин: <tex>F_1 = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right], \;\; F_2 = U\left[-\sigma\sqrt{3}, \sigma\sqrt{3}\right]</tex> — непрерывные равномерные распределения; <tex>p_1= 1 - p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.</tex> |
* Критерий знаковых рангов Уилкоксона, нарушение предположения о симметричности распределения относительно медианы. <br> <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot F; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; med X=0</tex> <br> <tex>H_1\,:\; med X\neq0;</tex> <br><tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> <br> | * Критерий знаковых рангов Уилкоксона, нарушение предположения о симметричности распределения относительно медианы. <br> <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot F; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; med X=0</tex> <br> <tex>H_1\,:\; med X\neq0;</tex> <br><tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> <br> |
Версия 08:48, 6 марта 2015
Ниже под обозначением понимается выборка объёма из смеси распределений и с весами и соответственно (при генерации каждой выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит , то добавляем в выборку элемент, взятый из , иначе — элемент, взятый из ).
Анализ поведения схожих критериев
Требуется исследовать поведение указанной пары статистических критериев, подходящих для решения одной и той же задачи, сравнить мощность и достигаемые уровни значимости и сделать выводы о границах применимости критериев. Необходимо для каждого из критериев построить графики зависимости достигаемых уровней значимости и оценок мощностей от параметров, и показать, в каких областях изменения параметров предпочтительнее использовать тот или иной критерий. Для получения более гладких графиков рекомендуется применять оба критерия к одним и тем же выборкам, а не генерировать их отдельно для каждого.
-
неверна.
- Лийко: — непрерывные равномерные распределения; Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса (функция cvm.test с параметром type="W2" в пакете dgof).
- Ефимова: Сравнить критерии Смирнова и Андерсона (функция cvm.test с параметром type="A2" в пакете dgof).
- Игнатов: Сравнить критерии Смирнова и Андерсона (функция cvm.test с параметром type="A2" в пакете dgof).
-
неверна.
- Лукманов: — стандартное распределение Коши; Сравнить критерии Шапиро-Уилка и хи-квадрат Пирсона.
- Ахтямов: , сравнить z-критерии в версиях Вальда и множителей Лагранжа.
Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений
Требуется исследовать поведение указанного критерия в условиях нарушения лежащих в его основе предположений. Оценить мощность и достигаемый уровень значимости критерия при различных значениях параметров, сделать выводы об устойчивости.
- Двухвыборочный t-критерий для равных дисперсий, нарушение предположения о равенстве дисперсий.
- Виденеева:
- Омельченко:
- Одновыборочный t-критерий, нарушение предположения о нормальности.
- Рубцовенко: — непрерывное равномерное распределение;
- Родина: — распределение Коши с коэффициентом сдвига и коэффициентом масштаба
- Одновыборочный критерий хи-квадрат для гипотезы о дисперсии, нарушение предположения о нормальности.
- Иноземцев: — распределение Стьюдента с тремя степенью свободы;
- Критерий Фишера для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности.
- Чжен: — непрерывное равномерное распределение;
- Плавин: — непрерывные равномерные распределения;
- Критерий знаковых рангов Уилкоксона, нарушение предположения о симметричности распределения относительно медианы.
- Липатова: где — стандартное логнормальное распределение;
- Кучин: где — распределение хи-квадрат с 4 степенями свободы;