Вычисление второй производной по одной переменной
Материал из MachineLearning.
Строка 20: | Строка 20: | ||
::<tex>y'(x)\approx y(x_0,x_1) = \frac{y(x_0)-y(x_1)}{x_0-x_1}</tex>, | ::<tex>y'(x)\approx y(x_0,x_1) = \frac{y(x_0)-y(x_1)}{x_0-x_1}</tex>, | ||
- | {{ eqno | | + | {{ eqno | 2 }} |
- | ::\frac{1}{2} | + | ::<tex>\frac{1}{2}y''(x)\approx y(x_0,x_1,x_2) = \frac{1}{x_0-x_2}\left( \frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}- \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\right)</tex>, |
+ | |||
+ | ::<tex>\frac{1}{k!} y^{(k)}(x) \approx y(x_0,x_1,\dots,x_k) = \sum_{p=0}^{k}y_p \prod_{i=0, i\neq p}^k {(x_p-x_i)}^{-1}</tex> | ||
- | |||
== Числовой пример == | == Числовой пример == | ||
== Рекомендации программисту == | == Рекомендации программисту == | ||
Строка 30: | Строка 31: | ||
* ''А.А.Самарский, А.В.Гулин.'' Численные методы. Москва «Наука», 1989. | * ''А.А.Самарский, А.В.Гулин.'' Численные методы. Москва «Наука», 1989. | ||
* ''Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков.'' Численные методы. Лаборатория Базовых Знаний, 2003. | * ''Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков.'' Численные методы. Лаборатория Базовых Знаний, 2003. | ||
- | |||
* ''Н.Н.Калиткин.'' Численные методы. Москва «Наука», 1978. | * ''Н.Н.Калиткин.'' Численные методы. Москва «Наука», 1978. | ||
Версия 18:15, 15 октября 2008
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Допустим, что в некоторой точке у функции существует производная 2-го порядка , которую точно вычислить либо не удается, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производной функции требуется использовать методы численного дифференцирования.
Изложение метода
При численном дифференцировании функцию аппроксимируют легко вычисляемой функцией и приближенно полагают . При этом можно использовать различные способы аппроксимации. Рассмотрим простейший случай - аппроксимацию интерполяционным многочленом Ньютона. Вводя обозначение , запишем это многочлен и продифференцируем его почленно:
Общая формула примет следующий вид:
Обрывая ряд на некотором числе членов, получим приближенное выражение для соответсвующей производной. Наиболее простые выражения получим, оставляя в формуле (1) только первый член:
- ,
- ,
Числовой пример
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
- Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы. Лаборатория Базовых Знаний, 2003.
- Н.Н.Калиткин. Численные методы. Москва «Наука», 1978.