Участник:Riabenko/tmp

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м
м
Строка 1: Строка 1:
 +
Ниже под обозначением <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot F_1+ \left(1-p\right)\cdot F_2</tex> понимается выборка объёма <tex>n</tex> из смеси распределений <tex>F_1</tex> и <tex>F_2</tex> с весами <tex>p</tex> и <tex>1-p</tex> соответственно (при генерации каждой выборки используется случайный датчик&nbsp;— если его значение не превосходит <tex>p</tex>, то добавляем в выборку элемент, взятый из <tex>F_1</tex>, иначе&nbsp;— элемент, взятый из <tex>F_2</tex>).
 +
 +
= Анализ поведения схожих критериев =
 +
Требуется исследовать поведение указанной пары статистических критериев, подходящих для решения одной и той же задачи, сравнить мощность и достигаемые уровни значимости и сделать выводы о границах применимости критериев. Необходимо для каждого из критериев построить графики зависимости достигаемых уровней значимости и оценок мощностей от параметров, и показать, в каких областях изменения параметров предпочтительнее использовать тот или иной критерий. Для получения более гладких графиков рекомендуется применять оба критерия к одним и тем же выборкам, а не генерировать их отдельно для каждого.
 +
 +
* <tex> X_1^{n_1}, \;\; X_1 \sim F_1,</tex> <br> <tex> X_2^{n_2}, \;\; X_2 \sim F_2; <tex> <br> <tex> H_0 \,:\, F_1=F_2, </tex><br> <tex>H_1\,:\; H_0 </tex> неверна. <br>
 +
::: <tex>F_1 = U\left[0,1\right], \;\; F_2 = U\left[a,a+1\right]</tex> —&nbsp; непрерывные равномерные распределения; <tex>a = 0\,:\,0.02\,:\,3, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70.</tex> Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса. <!--- брать a до 2--->
 +
::: <tex>F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = N(\mu,\sigma^2), \;\; \mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=n_2=30.</tex> Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса.
 +
::: <tex>F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]; \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70.</tex> Сравнить критерии Смирнова и его бутстреп-версию (функция ks.boot в пакете Matching).
 +
 +
* <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;</tex> <br> <tex> H_0\,:\; X \sim N,</tex> <br> <tex>H_1\,:\; H_0 </tex> неверна.
 +
::: <tex>F = C\left(0,1\right)</tex>—&nbsp;стандартное распределение Коши; <tex>n=20\,:\,1\,:\,100, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> Сравнить критерии Шапиро-Уилка и хи-квадрат Пирсона.
 +
::: <tex>F = U[-a,a]</tex>—&nbsp;непрерывное равномерное распределение; <tex>a=0.1\,:\,0.05\,:\,5, \;\; n=50, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> Сравнить критерии Харке-Бера и Андерсона-Дарлинга.
 +
::: <tex>F = St(2)</tex> —&nbsp;распределение Стьюдента с двумя степенями свободы; <tex>n=10\,:\,1\,:\,70, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> Сравнить критерии Харке-Бера и хи-квадрат Пирсона.
 +
 +
* <tex>X^n, \;\; X\sim Ber(p); </tex><br> <tex>H_0\,:\, p=p_0,</tex><br> <tex>H_1\,:\, p\neq p_0;</tex><br> <tex>p=0\,:\,0.01\,:\,0.5, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70.</tex>
 +
::: <tex>p_0=0.5</tex>; сравнить z-критерии в версиях Вальда и множителей Лагранжа.
 +
::: <tex>p_0=0.25</tex>; сравнить z-критерий в версии множителей Лагранжа и точный критерий.
 +
:::<tex>p_0=0.1</tex>; сравнить z-критерий в версии Вальда и точный критерий.
 +
 +
* <tex>X^n, \;\; X\sim N(\mu,\sigma); </tex><br> <tex>H_0\,:</tex> среднее значение <tex>X</tex> равно нулю,<br> <tex>H_1\,:</tex> среднее значение <tex>X</tex> не равно нулю;<br> <tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2.</tex>
 +
::: <tex>\sigma=1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70;</tex> сравнить критерии знаков и знаковых рангов.
 +
::: <tex>\sigma=2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70;</tex> сравнить критерий знаковых рангов и одновыборочный t-критерий.
 +
::: <tex>\sigma=1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70;</tex> сравнить одновыборочные t- и z-критерии.
 +
::: <tex>\sigma=1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,40;</tex> сравнить одновыборочные t- и перестановочный критерии.
 +
 +
* <tex>X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),</tex><br> <tex>X_2^{n_2}, \;\; X_{2} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2);</tex><br><tex>H_0\,:</tex> средние равны, <br><tex>\;H_1\,:</tex> средние не равны;<br><tex>n_1=30, \;\; \mu_1=0, \;\; \sigma_1=1.</tex>
 +
::: <tex>\mu_2=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 2, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,70,</tex> сравнить версии t-критерия для равных и неравных дисперсий.
 +
::: <tex>\mu_2=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_2=30,</tex> сравнить t-критерий для неравных дисперсий и критерий Манна-Уитни-Уилкоксона.
 +
::: <tex>\mu_2=0.5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,70,</tex> сравнить t- и z-критерии для неравных дисперсий.
 +
::: <tex>\mu_2=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.02\,:\,2, \;\; n_2=20,</tex> сравнить критерий Манна-Уитни-Уилкоксона и перестановочный критерий с разностью средних в качестве статистики.
 +
::: <tex>\mu_2=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 1, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,40,</tex> сравнить t-критерий для неизвестных равных дисперсий и перестановочный критерий с разностью средних в качестве статистики.
 +
 +
* <tex>X_1^n, \;\; X_{1} \sim N(0, \sigma_1^2),</tex><br> <tex>X_2^n, \;\; X_{2} \sim N(0, \sigma_2^2);</tex> <br> <tex>H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},</tex> <br> <tex>H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2}.</tex>
 +
::: <tex>\sigma_1= 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\;\sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=30;</tex> сравнить критерии [[критерий Фишера|Фишера]] и [[критерий Ансари-Брэдли|Ансари-Брэдли]].
 +
::: <tex>\sigma_1= 1, \;\;\sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,40;</tex> сравнить критерии [[критерий Фишера|Фишера]] и перестановочный критерий со статистикой Али.
 +
::: <tex>\sigma_1=1, \;\;\sigma_2 = 0.5\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,40,</tex> сравнить критерии [[критерий Ансари-Брэдли|Ансари-Брэдли]] и [[критерий Зигеля-Тьюки|Зигеля-Тьюки]].
 +
 +
= Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений =
 +
Требуется исследовать поведение указанного критерия в условиях нарушения лежащих в его основе предположений. Оценить мощность и достигаемый уровень значимости критерия при различных значениях параметров, сделать выводы об устойчивости.
 +
 +
* Двухвыборочный [[критерий Стьюдента|t-критерий]] для равных дисперсий, нарушение предположения о равенстве дисперсий. <br> <tex>X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim N(0,1),</tex><br><tex>X_2^{n_2}, \;\; X_{2} \sim N(\mu,\sigma^2);</tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1} = \mathbb{E}X_{2}, </tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1} \neq \mathbb{E}X_{2}.</tex>
 +
::: <tex>\mu=1, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=5\,:\,1\,:\,70, \;\; n_2 = 30.</tex>
 +
::: <tex>\mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=20, \;\; n_2 = 30.</tex>
 +
 +
* Одновыборочный [[критерий Стьюдента|t-критерий]], нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot F; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X=0</tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X\neq0;</tex> <br><tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=30.</tex> <br>
 +
::: <tex>F = U\left[-\sqrt{3}+\mu, \sqrt{3}+\mu\right]</tex> —&nbsp;непрерывное равномерное распределение; <tex>\sigma=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> <!---брать mu до 1 или sigma больше--->
 +
::: <tex>F = C\left(\mu,1\right)</tex> —&nbsp;распределение Коши с коэффициентом сдвига <tex>\mu</tex> и коэффициентом масштаба <tex>1; \;\; \sigma=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex>
 +
::: <tex>F = \mu + St(3)</tex> —&nbsp;сдвинутое на <tex>\mu</tex> распределение Стьюдента с тремя степенями свободы; <tex>\sigma = \sqrt{3}, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex>
 +
::: <tex>F = U\left[-a+\mu, a+\mu\right]</tex> —&nbsp;непрерывное равномерное распределение; <tex>\sigma=1, \;\; p=0.7, \;\; a=0.1\,:\,0.05\,:\,5.</tex>
 +
 +
* Одновыборочный критерий хи-квадрат для гипотезы о дисперсии, нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot F; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{D}X=\sigma_0^2</tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{D}X\neq\sigma_0^2;</tex> <br><tex>p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n=50.</tex> <br>
 +
::: <tex>F = St(3)</tex> —&nbsp;распределение Стьюдента с тремя степенями свободы; <tex>\sigma_0^2 = 3, \;\; \sigma^2=1.5\,:\,0.05\,:\,6.</tex>
 +
::: <tex>F = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]</tex> —&nbsp;непрерывное равномерное распределение; <tex>\sigma_0 = 1, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2.</tex>
 +
::: <tex>F = \chi^2_2 - 2,</tex> —&nbsp;сдвинутое на 2 распределение хи-квадрат с 2 степенями свободы; <tex>\sigma_0 = 2, \;\; \sigma=1\,:\,0.02\,:\,4.</tex>
 +
 +
* [[Критерий Фишера]] для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1^2)+ \left(1-p_1\right)\cdot F_1, </tex> <br> <tex> X_2^{n_2},\;\; X_{2} \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2^2)+ \left(1-p_2\right)\cdot F_2; </tex> <br> <tex>H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},</tex> <br> <tex>H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2}.</tex> <br>
 +
::: <tex>F_1 = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]</tex> —&nbsp;непрерывное равномерное распределение; <tex>\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1=0.7, \;\; p_2 = 1, \;\; n_1=5\,:\,1\,:\,70, \;\; n_2=30.</tex>
 +
::: <tex>F_1 = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right], \;\; F_2 = U\left[-\sigma_2\sqrt{3}, \sigma_2\sqrt{3}\right]</tex> —&nbsp;непрерывные равномерные распределения; <tex>\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1= 1 - p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.</tex>
 +
::: <tex>F_1 = St(3)</tex> —&nbsp;распределение Стьюдента с тремя степенью свободы; <tex>\sigma_1^2=3, \;\; \sigma_2^2=1.5\,:\,0.05\,:\,6, \;\; p_1=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; p_2 = 1, \;\; n_1=n_2=30.</tex>
 +
::: <tex>F_1 = F_2 = U\left[-3, 3\right]</tex> —&nbsp;непрерывное равномерное распределение; <tex>\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1=p_2 = 0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.</tex>
 +
 +
* Критерий знаковых рангов Уилкоксона, нарушение предположения о симметричности распределения относительно медианы. <br> <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot F; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; med X=0</tex> <br> <tex>H_1\,:\; med X\neq0;</tex> <br><tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> <br>
 +
::: <tex>F = LN(0,1) - 1 + \mu, </tex> где <tex>LN(0,1)</tex> —&nbsp; стандартное логнормальное распределение; <tex>n=50.</tex>
 +
::: <tex>F = \chi^2_4 - \frac{10}{3} + \mu,</tex> где <tex>\chi^2_4</tex> — распределение хи-квадрат с 4 степенями свободы; <tex>n=30.</tex> <!--- можно mu до 1--->
 +
 +
= Ссылки =
 +
* psad.homework@gmail.com
 +
* [[Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2016, ММП|Практические задания для студентов ММП ВМК]]
 +
* [[Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)]]
 +
<references/>
 +
 +
[[Категория:Учебные курсы]]
 +
 +
 +
 +
 +
 +

Версия 19:28, 23 февраля 2016

Ниже под обозначением X^n, \;\; X \sim p\cdot F_1+ \left(1-p\right)\cdot F_2 понимается выборка объёма n из смеси распределений F_1 и F_2 с весами p и 1-p соответственно (при генерации каждой выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит p, то добавляем в выборку элемент, взятый из F_1, иначе — элемент, взятый из F_2).

Анализ поведения схожих критериев

Требуется исследовать поведение указанной пары статистических критериев, подходящих для решения одной и той же задачи, сравнить мощность и достигаемые уровни значимости и сделать выводы о границах применимости критериев. Необходимо для каждого из критериев построить графики зависимости достигаемых уровней значимости и оценок мощностей от параметров, и показать, в каких областях изменения параметров предпочтительнее использовать тот или иной критерий. Для получения более гладких графиков рекомендуется применять оба критерия к одним и тем же выборкам, а не генерировать их отдельно для каждого.

  • X_1^{n_1}, \;\; X_1 \sim F_1,
    X_2^{n_2}, \;\; X_2 \sim F_2; <tex> <br> <tex> H_0 \,:\, F_1=F_2,
    H_1\,:\; H_0 неверна.
F_1 = U\left[0,1\right], \;\; F_2 = U\left[a,a+1\right] —  непрерывные равномерные распределения; a = 0\,:\,0.02\,:\,3, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70. Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса.
F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = N(\mu,\sigma^2), \;\; \mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=n_2=30. Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса.
F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]; \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70. Сравнить критерии Смирнова и его бутстреп-версию (функция ks.boot в пакете Matching).
  • X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;
    H_0\,:\; X \sim N,
    H_1\,:\; H_0 неверна.
F = C\left(0,1\right)— стандартное распределение Коши; n=20\,:\,1\,:\,100, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1. Сравнить критерии Шапиро-Уилка и хи-квадрат Пирсона.
F = U[-a,a]— непрерывное равномерное распределение; a=0.1\,:\,0.05\,:\,5, \;\; n=50, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1. Сравнить критерии Харке-Бера и Андерсона-Дарлинга.
F = St(2) — распределение Стьюдента с двумя степенями свободы; n=10\,:\,1\,:\,70, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1. Сравнить критерии Харке-Бера и хи-квадрат Пирсона.
  • X^n, \;\; X\sim Ber(p);
    H_0\,:\, p=p_0,
    H_1\,:\, p\neq p_0;
    p=0\,:\,0.01\,:\,0.5, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70.
p_0=0.5; сравнить z-критерии в версиях Вальда и множителей Лагранжа.
p_0=0.25; сравнить z-критерий в версии множителей Лагранжа и точный критерий.
p_0=0.1; сравнить z-критерий в версии Вальда и точный критерий.
  • X^n, \;\; X\sim N(\mu,\sigma);
    H_0\,: среднее значение X равно нулю,
    H_1\,: среднее значение X не равно нулю;
    \mu=0\,:\,0.01\,:\,2.
\sigma=1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70; сравнить критерии знаков и знаковых рангов.
\sigma=2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70; сравнить критерий знаковых рангов и одновыборочный t-критерий.
\sigma=1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70; сравнить одновыборочные t- и z-критерии.
\sigma=1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,40; сравнить одновыборочные t- и перестановочный критерии.
  • X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),
    X_2^{n_2}, \;\; X_{2} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2);
    H_0\,: средние равны,
    \;H_1\,: средние не равны;
    n_1=30, \;\; \mu_1=0, \;\; \sigma_1=1.
\mu_2=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 2, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,70, сравнить версии t-критерия для равных и неравных дисперсий.
\mu_2=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_2=30, сравнить t-критерий для неравных дисперсий и критерий Манна-Уитни-Уилкоксона.
\mu_2=0.5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,70, сравнить t- и z-критерии для неравных дисперсий.
\mu_2=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.02\,:\,2, \;\; n_2=20, сравнить критерий Манна-Уитни-Уилкоксона и перестановочный критерий с разностью средних в качестве статистики.
\mu_2=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 1, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,40, сравнить t-критерий для неизвестных равных дисперсий и перестановочный критерий с разностью средних в качестве статистики.
  • X_1^n, \;\; X_{1} \sim N(0, \sigma_1^2),
    X_2^n, \;\; X_{2} \sim N(0, \sigma_2^2);
    H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},
    H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2}.
\sigma_1= 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\;\sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=30; сравнить критерии Фишера и Ансари-Брэдли.
\sigma_1= 1, \;\;\sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,40; сравнить критерии Фишера и перестановочный критерий со статистикой Али.
\sigma_1=1, \;\;\sigma_2 = 0.5\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,40, сравнить критерии Ансари-Брэдли и Зигеля-Тьюки.

Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений

Требуется исследовать поведение указанного критерия в условиях нарушения лежащих в его основе предположений. Оценить мощность и достигаемый уровень значимости критерия при различных значениях параметров, сделать выводы об устойчивости.

  • Двухвыборочный t-критерий для равных дисперсий, нарушение предположения о равенстве дисперсий.
    X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim N(0,1),
    X_2^{n_2}, \;\; X_{2} \sim N(\mu,\sigma^2);
    H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1} = \mathbb{E}X_{2},
    H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1} \neq \mathbb{E}X_{2}.
\mu=1, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=5\,:\,1\,:\,70, \;\; n_2 = 30.
\mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=20, \;\; n_2 = 30.
  • Одновыборочный t-критерий, нарушение предположения о нормальности.
    X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot F;
    H_0\,:\; \mathbb{E}X=0
    H_1\,:\; \mathbb{E}X\neq0;
    \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=30.
F = U\left[-\sqrt{3}+\mu, \sqrt{3}+\mu\right] — непрерывное равномерное распределение; \sigma=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.
F = C\left(\mu,1\right) — распределение Коши с коэффициентом сдвига \mu и коэффициентом масштаба 1; \;\; \sigma=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.
F = \mu + St(3) — сдвинутое на \mu распределение Стьюдента с тремя степенями свободы; \sigma = \sqrt{3}, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.
F = U\left[-a+\mu, a+\mu\right] — непрерывное равномерное распределение; \sigma=1, \;\; p=0.7, \;\; a=0.1\,:\,0.05\,:\,5.
  • Одновыборочный критерий хи-квадрат для гипотезы о дисперсии, нарушение предположения о нормальности.
    X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot F;
    H_0\,:\; \mathbb{D}X=\sigma_0^2
    H_1\,:\; \mathbb{D}X\neq\sigma_0^2;
    p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n=50.
F = St(3) — распределение Стьюдента с тремя степенями свободы; \sigma_0^2 = 3, \;\; \sigma^2=1.5\,:\,0.05\,:\,6.
F = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right] — непрерывное равномерное распределение; \sigma_0 = 1, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2.
F = \chi^2_2 - 2, — сдвинутое на 2 распределение хи-квадрат с 2 степенями свободы; \sigma_0 = 2, \;\; \sigma=1\,:\,0.02\,:\,4.
  • Критерий Фишера для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности.
    X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1^2)+ \left(1-p_1\right)\cdot F_1,
    X_2^{n_2},\;\; X_{2} \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2^2)+ \left(1-p_2\right)\cdot F_2;
    H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},
    H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2}.
F_1 = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right] — непрерывное равномерное распределение; \sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1=0.7, \;\; p_2 = 1, \;\; n_1=5\,:\,1\,:\,70, \;\; n_2=30.
F_1 = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right], \;\; F_2 = U\left[-\sigma_2\sqrt{3}, \sigma_2\sqrt{3}\right] — непрерывные равномерные распределения; \sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1= 1 - p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.
F_1 = St(3) — распределение Стьюдента с тремя степенью свободы; \sigma_1^2=3, \;\; \sigma_2^2=1.5\,:\,0.05\,:\,6, \;\; p_1=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; p_2 = 1, \;\; n_1=n_2=30.
F_1 = F_2 = U\left[-3, 3\right] — непрерывное равномерное распределение; \sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1=p_2 = 0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.
  • Критерий знаковых рангов Уилкоксона, нарушение предположения о симметричности распределения относительно медианы.
    X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;
    H_0\,:\; med X=0
    H_1\,:\; med X\neq0;
    \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.
F = LN(0,1) - 1 + \mu, где LN(0,1) —  стандартное логнормальное распределение; n=50.
F = \chi^2_4 - \frac{10}{3} + \mu, где \chi^2_4 — распределение хи-квадрат с 4 степенями свободы; n=30.

Ссылки





Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Riabenko/tmp»
Личные инструменты