Вычисление второй производной по разным переменным

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Изложение метода)
(→Изложение метода)
Строка 5: Строка 5:
Рассмотрим формулу <tex>\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} </tex>=<tex>(f_x')_y'</tex>. Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - <tex>f'(x)</tex>=<tex>\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}</tex>.
Рассмотрим формулу <tex>\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} </tex>=<tex>(f_x')_y'</tex>. Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - <tex>f'(x)</tex>=<tex>\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}</tex>.
Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках.
Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках.
-
Для начала найдем две производные по y в точках <tex>M(x+h_x)</tex> и <tex>N(x-h_x)</tex>
+
::Для начала найдем две производные по y в точках <tex>M(x_0+h_x,Y_0)</tex> и <tex>N(x_0-h_x,y_0)</tex>
-
::<tex>f(x+h_x,y)_y' = \frac{f(x+h_x,y+h_y)-f(x+h_x,y-h_y)}{2h_y}</tex>
+
::<tex>f(x_0+h_x,y_0)_y' = \frac{f(x_0+h_x,y_0+h_y)-f(x_0+h_x,y_0-h_y)}{2h_y}</tex>
-
::<tex>f(x-h_x,y)_y' = \frac{f(x-h_x,y+h_y)-f(x-h_x,y-h_y)}{2h_y}</tex>
+
::<tex>f(x_0-h_x,y_0)_y' = \frac{f(x_0-h_x,y_0+h_y)-f(x_0-h_x,y_0-h_y)}{2h_y}</tex>
-
Затем найдем искомую производную по формуле <tex>f'(x)</tex>=<tex>\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}</tex>=<tex>\frac{f(M)-F(N)}{2h_x}</tex>
+
Затем найдем искомую производную по формуле <tex>f'(x)</tex>=<tex>\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h_x}</tex>=<tex>\frac{f(M)-f(N)}{2h_x}</tex>

Версия 17:58, 20 октября 2008

Введение

Постановка математической задачи

Допустим, что в некоторой точке x у функции f(x,y) существует производная 2-го порядка \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} , которую точно вычислить либо не удаётся, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производной функции требуется использовать методы численного дифференцирования.

Изложение метода

Рассмотрим формулу \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} =(f_x')_y'. Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - f'(x)=\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}. Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках.

Для начала найдем две производные по y в точках M(x_0+h_x,Y_0) и N(x_0-h_x,y_0)
f(x_0+h_x,y_0)_y' = \frac{f(x_0+h_x,y_0+h_y)-f(x_0+h_x,y_0-h_y)}{2h_y}
f(x_0-h_x,y_0)_y' = \frac{f(x_0-h_x,y_0+h_y)-f(x_0-h_x,y_0-h_y)}{2h_y}

Затем найдем искомую производную по формуле f'(x)=\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h_x}=\frac{f(M)-f(N)}{2h_x}

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D1%8B%D0%BC_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%BC»
Личные инструменты