Барицентры и их приложения (регулярный семинар)
Материал из MachineLearning.
м |
|||
| Строка 17: | Строка 17: | ||
== Прошедшие заседания == | == Прошедшие заседания == | ||
| + | == Полезные ссылки == | ||
| + | |||
| + | # [http://www.math.toronto.edu/mccann/publications Страница R.J. McCann] на сайте математического факультета университета Торонто | ||
| + | # [http://cvgmt.sns.it/person/3/ Страница L. Ambrosio] на CVGMT.sns.it | ||
| + | |||
| + | == Литература == | ||
| + | |||
| + | === Некоторые первоисточники === | ||
| + | |||
| + | # Monge, Gaspard (1784). Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais. ''Histoire de l'Académie Royale des des sciences'' (1784) 666-704 ([http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k35800/f796.image читать]) | ||
| + | # Brenier, Yann (1991). Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions. ''Comm. Pure Appl. Math.'' '''44''':4 (1991) 375-417 ([http://www.math.u-psud.fr/~maury/paps/TO.Brenier91.FactPol.pdf скачать]) [http://dx.doi.org/10.1002/cpa.3160440402 doi:10.1002/cpa.3160440402] | ||
| + | # Agueh, Martial; Carlier, Guillaume (2011). Barycenters in the Wasserstein space. ''SIAM J. Math. Anal.'' '''43''':2 (2011) 904-924 ([https://www.ceremade.dauphine.fr/~carlier/AC_bary_Aug11_10.pdf скачать]) [http://dx.doi.org/10.1137/100805741 doi:10.1137/100805741] | ||
| + | |||
| + | === Обзоры, монографии, учебники === | ||
| + | |||
| + | # Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola (2011). ''A user's guide to optimal transport'' (preprint), 2001 ([http://cvgmt.sns.it/media/doc/paper/195/users_guide-final.pdf скачать]) | ||
| + | # Villani, Cédric (2009) ''Optimal transport, old and new''. Grundlehren der Matematiscohen Wissenschaften '''58''', Berlin etc: Springer, 2009 ([http://cedricvillani.org/wp-content/uploads/2012/08/preprint-1.pdf скачать препринт]) | ||
| + | |||
| + | === Разные статьи === | ||
| + | |||
| + | # Gangbo, Wilfrid; MacCann, Robert J. (1996). The geometry of optimal transportation. ''Acta Math.'' '''177''' (1996) 113-161 ([http://www.math.toronto.edu/mccann/papers/geometry.pdf скачать]) [http://dx.doi.org/10.1007/BF02392620 doi:10.1007/BF02392620] (определение и подробное обсуждение основных понятий <tex>c</tex>-выпуклого анализа) | ||
| + | # Otto, Felix (2001). The geometry of dissipative evolution equations: the porous medium equation. ''Comm. PDE'' '''26''' (2001) 101-174 ([http://www.mis.mpg.de/preprints/1999/preprint1999_8.pdf скачать препринт]) [http://dx.doi.org/10.1081/PDE-100002243 doi:10.1081/PDE-100002243] (математическое описание диффузии как градиентного потока в пространстве Вассерштейна) | ||
| + | # Carlen, Eric; Gangbo, Wilfrid (2003). Constrained steepest descent in the <tex>2</tex>-Wasserstein metric. ''Annals of Math.'' '''157''':3 (2003) 807-846 ([http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v157-n3-p03.pdf скачать]) [http://dx.doi.org/10.4007/annals.2003.157.807 doi:10.4007/annals.2003.157.807] (развитие работы F. Otto — подробное описание пространства мер с квадратичной метрикой Вассерштейна как риманова многообразия: касательные пространства, метрический тензор) | ||
| + | # Takatsu, Asuka (2011). Wasserstein geometry of Gaussian measures. ''Osaka J. Math'' '''48''':4 (2011) 1005-1026 ([http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ojm/1326291215 скачать]) [http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1326291215 http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1326291215] (явное описание римановой метрики, индуцируемой метрикой Вассерштейна на конусе положительно определенных симметричных матриц, рассматриваемых как матрицы ковариации гауссовых распределений) | ||
| + | # Cuturi, Marco; Doucet, Arnaud (2014) Fast computation of Wasserstein barycenters. ''Proc. 31st Intl Conf. Machine Learning'' (Beijing, 2014) 685-693 ([http://jmlr.org/proceedings/papers/v32/cuturi14.pdf скачать]) | ||
[[Категория:Учебные курсы]] | [[Категория:Учебные курсы]] | ||
Текущая версия
Содержание |
Описание семинара:
Многие возникающие на практике многомерные ряды данных можно представить как меры на некотором метрическом пространстве (распределение интенсивности по полю изображения или по объему томограммы, пикселов - в цветовом пространстве и т.п.). Задачи анализа таких данных требуют подходящей операции усреднения, но множество мер на метрическом пространстве само допускает лишь метрическую структуру ("метрика Вассерштейна"): естественных векторных операций, необходимых для усреднения, на нем нет. Однако усреднение можно определить в чисто метрических терминах, как среднее по Фреше (элемент пространства мер, минимизирующий сумму квадратов расстояний до элементов выборки) - эта конструкция была предложена в 2011 году G. Carlier и M. Agueh под названием "барицентра Вассерштейна". В нашей группе мы изучаем геометрию пространства мер, планируем получить предельные теоремы для случайных мер (варианты закона больших чисел, центральной предельной теоремы, принципов больших уклонений - все с использованием барицентров Вассерштейна как средних), а также рассмотрим аналогичные конструкции для параметрических моделей (трактуемых как конечномерные подмногообразия в пространстве мер). Будут также рассматриваться вопросы эффективного численного вычисления барицентров.
Время заседаний:
Регулярный семинар, проводится в ИППИ РАН по пятницам в 10-00, ауд. 615.
Научные руководители семинара
А.Н. Соболевский, В. Г. Спокойный, Е. О. Черноусова
Организатор семинара
Совместный учебно-научный семинар магистерской программы Математические методы оптимизации и стохастики Факультета Компьютерных наук НИУ ВШЭ, Института проблем передачи информации РАН и Лаборатории ПреМоЛаб МФТИ. Куратор семинара Андрей Соболевский (профили в НИУ ВШЭ и на MathNet.ru)
Прошедшие заседания
Полезные ссылки
- Страница R.J. McCann на сайте математического факультета университета Торонто
- Страница L. Ambrosio на CVGMT.sns.it
Литература
Некоторые первоисточники
- Monge, Gaspard (1784). Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais. Histoire de l'Académie Royale des des sciences (1784) 666-704 (читать)
- Brenier, Yann (1991). Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions. Comm. Pure Appl. Math. 44:4 (1991) 375-417 (скачать) doi:10.1002/cpa.3160440402
- Agueh, Martial; Carlier, Guillaume (2011). Barycenters in the Wasserstein space. SIAM J. Math. Anal. 43:2 (2011) 904-924 (скачать) doi:10.1137/100805741
Обзоры, монографии, учебники
- Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola (2011). A user's guide to optimal transport (preprint), 2001 (скачать)
- Villani, Cédric (2009) Optimal transport, old and new. Grundlehren der Matematiscohen Wissenschaften 58, Berlin etc: Springer, 2009 (скачать препринт)
Разные статьи
- Gangbo, Wilfrid; MacCann, Robert J. (1996). The geometry of optimal transportation. Acta Math. 177 (1996) 113-161 (скачать) doi:10.1007/BF02392620 (определение и подробное обсуждение основных понятий
-выпуклого анализа)
- Otto, Felix (2001). The geometry of dissipative evolution equations: the porous medium equation. Comm. PDE 26 (2001) 101-174 (скачать препринт) doi:10.1081/PDE-100002243 (математическое описание диффузии как градиентного потока в пространстве Вассерштейна)
- Carlen, Eric; Gangbo, Wilfrid (2003). Constrained steepest descent in the
-Wasserstein metric. Annals of Math. 157:3 (2003) 807-846 (скачать) doi:10.4007/annals.2003.157.807 (развитие работы F. Otto — подробное описание пространства мер с квадратичной метрикой Вассерштейна как риманова многообразия: касательные пространства, метрический тензор)
- Takatsu, Asuka (2011). Wasserstein geometry of Gaussian measures. Osaka J. Math 48:4 (2011) 1005-1026 (скачать) http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1326291215 (явное описание римановой метрики, индуцируемой метрикой Вассерштейна на конусе положительно определенных симметричных матриц, рассматриваемых как матрицы ковариации гауссовых распределений)
- Cuturi, Marco; Doucet, Arnaud (2014) Fast computation of Wasserstein barycenters. Proc. 31st Intl Conf. Machine Learning (Beijing, 2014) 685-693 (скачать)
