Вычисление второй производной по разным переменным

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Примеры работы метода)
(→Рекомендации программисту)
Строка 37: Строка 37:
}
}
</pre>
</pre>
 +
== Заключение ==
 +
Погрешность найденной смешанной производной будет зависеть от погрешности нахождения производной одномерного случая.
 +
== Список использованной литературы ==
 +
* ''А.А.Самарский, А.В.Гулин.''&nbsp; Численные методы. Москва «Наука», 1989.

Версия 20:17, 20 октября 2008

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Допустим, что в некоторой точке x у функции f(x,y) существует производная 2-го порядка \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} , которую точно вычислить либо не удаётся, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производной функции требуется использовать методы численного дифференцирования.

Изложение метода

Рассмотрим формулу \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} =(f_x')_y'. Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - f'(x)=\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}. Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках.

Для начала найдем две производные по y в точках M(x_0+h_x,Y_0) и N(x_0-h_x,y_0)
f(x_0+h_x,y_0)_y' = \frac{f(x_0+h_x,y_0+h_y)-f(x_0+h_x,y_0-h_y)}{2h_y}
f(x_0-h_x,y_0)_y' = \frac{f(x_0-h_x,y_0+h_y)-f(x_0-h_x,y_0-h_y)}{2h_y}

Затем найдем искомую производную по формуле f'(x_0)=\frac{f(x_0+h_x) - f(x_0-h_x)}{2h_x}=\frac{f(M)-f(N)}{2h_x}

Примеры работы метода

f(x)=sin(x)sin(y). Результаты для точки M(0,0), где значение второй смешанной производной ,подсчитанной аналитически, равно 1, для h_x=h_yприведены в таблице.

Значение h_x Абсолютная ошибка Относительная ошибка
1e-1 3.3e-3 3.3e-3
1e-3 3.3e-7 3.3e-7
1e-5 3.3e-11 3.3e-11
1e-7 0 0
1e-9 0 0

Вычисления проводились в стандартном типе double (позволяет хранить 15 значащих десятичных цифр) языка C++.

Рекомендации программисту

Пример кода на C++ 

typedef double func(double ,double);

double SecondDerivative(func f,double x,double y,double hx,double hy)
{
	return (f(x+hx,y+hy)-f(x+hx,y-hy)-f(x-hx,y+hy)+f(x-hx,y-hy))/(4*hx*hy);
}

Заключение

Погрешность найденной смешанной производной будет зависеть от погрешности нахождения производной одномерного случая.

Список использованной литературы

  • А.А.Самарский, А.В.Гулин.  Численные методы. Москва «Наука», 1989.
Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D1%8B%D0%BC_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%BC»
Личные инструменты