Методы прямоугольников и трапеций

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Версия 16:09, 2 ноября 2008

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка математической задачи
2 Метод прямоугольников
3 Метод трапеций
4 Числовой пример
5 Рекомендации программисту
- 5.1 Оценка погрешности
- 5.2 Пример программы на языке C++
6 Заключение
7 Список литературы

Введение

Постановка математической задачи

Рис.1

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла

( 1 )

$I=\int_a^b{f(x)dx},$

где $f(x)$ - заданная и интегрируемая на отрезке $[a,b]$ функция.

Если один или оба предела равны $+ \infty$ или $- \infty$ , то с помощью трюков с заменой переменных можно осуществить переход к конечному отрезку от луча или всей числовой прямой.

Введем на $[a,b]$ сетку с переменным шагом $h_i$ , т.е. множество точек $\omega_h=\{x_i=a+\sum_{j=0}^i{h_j}, i=0,1,...,N,h_0=0, \sum_{i=1}^N{h_i}=b-a}$ , и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

( 3 )

$\int_a^b{f(x)dx}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}}.$

Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке $[a,b]$ достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

( 4 )

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}$

на частичном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ и воспользоваться свойством (3).

Метод прямоугольников

Формула прямоугольников на частичном отрезке и ее погрешность

Рис.2

Заменим интеграл (3) выражением $f(x_{i-1/2})h$ , где $x_{i-1/2}=x_{i}-0.5h.$

Тогда получим формулу

( 5 )

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}\approx f(x_{i-1/2})h,$

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке $[x_{i-1},x_i].$

Погрешность метода (5) определяется величиной

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-f(x_{i-1/2})h$

которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем $\psi_{i}$ в виде

( 6 )

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{(f(x)-f(x_{i-1/2}))dx}$

и воспользуемся разложением

$f(x)=f(x_{i-1/2})+(x-x_{i-1/2})f'(x_{i-1/2})+\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi),$

где $\xi_i=\xi_i(x)\in [x_{i-1},x_i]$ . Тогда из (6) получим

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi_i)dx}$

Обозначая $M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|$ , оценим $\psi_i$ следующим образом:

$|\psi_i|\le M_{2,i} \int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}dx}=\frac{h^3}{24}M_{2,i}$

Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка

( 7 )

$|\psi_i|\le \frac{h^3}{24}M_{2,i}$

т.е. формула имеет погрешность $O(h^3)$ при $h\rightarrow0$ .

Заметим,что оценка (7) является неулучшаемой, т.е. существует функция $f(x)$ , для которой (7) выполняется со знаком равенства. Действительно, для $f(x)=(x-x_{i-1/2})^2$ имеем $M_{2,i}=2, f(x_{i-1/2})=0$ и

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-f(x_{i-1/2})h=\frac{h^3}{24}M_{2,i}$

Составная формула прямоугольников и ее погрешность

Суммируя равенства (5) по $i$ от $1$ до $N$ , получим составную формулу прямоугольников

( 8 )

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}\approx \sum_{i=1}^N{f(x_{i-1/2})h}$

Погрешность этой формулы

$\Psi=\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\sum_{i=1}^N{f(x_{i-1/2})h}$

равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам,

$\Psi=\sum_{i=1}^N{\psi_i}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi_i)dx}}$

Отсюда, обозначая $M_2=\underset{x\in [a,b]}{max}|f''(x)|$ , получим

( 9 )

$|\Psi|\le\frac{M_2Nh^3}{24}=\frac{h^2(b-a)}{24}M_2$

т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть велицина $O(h^2)$ .

Видим, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.

Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек

Заметим, что метод прямоугольников в том виде,в котором он описан выше, не применим в общем случае к функциям,значения которых мы знаем в конечном числе точек, так как, например, мы не всегда можем разбить отрезкок интегрирования на подотрезки, серединами которых являются точки,в которых нам известно значение функции.

Метод трапеций

Формула трапеций на частичном отрезке и ее погрешность

Рис.3

На частичном отрезке эта формула имеет вид

( 10 )

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}\approx \frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}h$

и получается путем замены подынтегральной функции $f(x)$ интерполяционным многочленом первой степени,постоенным по узлам $x_{i-1},x_i$ , т.е. функцией

$L_{1,i}(x)=\frac{1}{h}((x-x_{i-1})f(x_i)-(x-x_i)f(x_{i-1})).$

Для оценки погрешности достаточно вспомнить,что

$f(x)-L_{1,i}(x)=\frac{(x-x_{i-1})(x-x_i)}{2}f''(\xi_i(x)).$

Отсюда получим

$\psi_i=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}h=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{(f(x)-L_{1,i}(x))dx}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1})(x-x_i)}{2}f''(\xi_i(x))dx}$

и,следовательно,

( 11 )

$|\psi_i|\le \frac{M_{2,i}h^3}{12}$

Оценка (11) неулучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для $f(x)=(x-x_i)^2$ .

Составная формула трапеций и ее погрешность

Составная формула трапеций имеет вид

( 12 )

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}\approx \sum_{i=1}^N{\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}h}=h(0.5f_0+f_1+...+f_{N-1}+0.5f_N),$

где $f_i=f(x_i),i=0,1,...,N,hN=b-a$ .

Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:

( 13 )

$|\Psi|\le \frac{h^2(b-a)}{12}M_2,$

где $M_2=\underset{x\in [a,b]}{max}|f''(x)|$

Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности, $\Psi=O(h^2)$ , но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей.

Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек

В отличие от метода прямоугольников, метод трапеций применим к функциям, заданным в конечном числе точек, так как мы всегда можем взять в качесве узлов интегрирования данные точки.

Числовой пример

Вычислим по формулам прямоугольников и трапеций при $n=2$ интеграл

( 14 )

$I=\int_{0}^{\pi/2}{\sin(x)dx} = 1$

В данном случае

$P_2=\frac{\pi}{4}(\sin(\frac{\pi}{8})+\sin(\frac{3\pi}{8}))=1.026172$

$T_2=\frac{\pi}{4}(\frac{1}{2}\sin(0)+\sin(\frac{\pi}{4})+\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}))=0.948059$

Зная точный ответ (14), найдем погрешности

( 15 )

$\alpha_2=-0.026172,\beta_2=0.051941$

Вторая производная функции $\sin(x)$ на отрезке $[0,\pi/2]$ отрицательна, ее модуль не превышает единицы: $M_2=1$ . Величина погрешностей (15) удовлетворяет неравенствам (9) и (13):

$|\alpha_2|\le \frac{1}{96}(\frac{\pi}{2})^3<0.041,|\beta_2|\le \frac{1}{48}(\frac{\pi}{2})^3<0.081$

Рекомендации программисту

Оценка погрешности

Величина погрешности численного интегрирования зависит как от шага сетки $h$ , так и от гладкости подынтегральной функции $f(x)$ . Например, в оценку (11), наряду с $h$ , входит величина

$M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|,$

которая может сильно меняться от точки к точке и, вообще говоря, заранее неизвестна. Если величина погрешности велика, то ее можно уменьшить путем измельчения сетки на данном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ . Для этого прежде всего надо уметь апостериорно, т.е. после проведения расчета, оценивать погрешность.

Апостериорную оценку погрешности можно осуществить методом Рунге. Пусть какая-то квадратурная формула имеет на частичном отрезке порядок точности $m$ , т.е. $I_i-I_{h,i}\approx c_i h_i^m$ . Тогда

$I_i-I_{h/2,i}\approx c_i (\frac{h_i}{2})^m,$

откуда получим

( 16 )

$I_i-I_{h,i}\approx 2^m (I_i-I_{h/2,i}),$

( 17 )

$I_i-I_{h/2,i}\approx \frac{I_{h/2,i}-I_{h,i}}{2^m-1}$

Пусть используется составная квадратурная формула

$I\approx I_h=\sum_{i=1}^N{I_{h,i}}$

где $I_{h,i}$ - квадратурная сумма на частичном отрезке, причем на каждом частичном отрезке используется одна и та же квадратурная формула (например, формула трапеций). Проведем на каждом частичном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ все вычисления дважды, один раз - с шагом $h_i$ и второй раз - с шагом $0.5h_i$ и оценим погрешность по правилу Рунге (17):

$\Psi = |I-I_{h/2}|\approx \sum_{i=1}^N{|I_i-I_{h/2,i}|}=\frac{|I_{h/2}-I_{h}|}{2^m-1},$

т.е. будет достигнута заданная точность $\epsilon$ .

Если же на каком-то из частичных отрезков оценка (18) не будет выполняться, то шаг на этом отрезке надо измельчить еще в два раза и снова оценить погрешность. Измельчение сетки на данном отрезке следует проводить до тех пор, пока не будет достигнута оценка вида (18). Заметим, что для некоторой функции $f(x)$ такое измельчение может продолжаться слишком долго. Поэтому в соответствующей программе следует предусмотреть ограничение сверху на число измельчений,а также вожможность увеличения $\epsilon$ .

Таким образом, автоматический выбор шага интегрирования приводит к тому, что интегрирование ведется с крупным шагом на участках плавного изменения функции $f(x)$ и с мелким шагом - на участках быстрого изменения $f(x)$ . Это позволяет при заданной точности $\epsilon$ уменьшить количество вычислений значений $f(x)$ по сравнению с расчетом на сетке с постоянным шагом. Подчеркнем, что для нахождения сумм $I_{h/2,i}$ не надо пересчитывать значения $f(x)$ во всех узлах, достаточно вычислять $f(x)$ только в новых узлах.

Пример программы на языке C++

Исходный текст программы

В программе интеграруемая функция задается в функции $function$ . В данном примере интегрируется логарифм и эта функция выглядит так:

double function(double x)
{
	return log(x);
}

Функция $rectangles$ реализует метод прямоугольников, а $trapezium$ - метод трапеций.

Функция $main$ выглядит следующим образом:

int main(int argc, char ** argv)
{
	char a; 
	printf("Answer by rectangles method is %10.10f.\n",
          rectangles(1.0, 2.0, 1e-4, 0));
	printf("Answer by trapezium method is  %10.10f.\n",
          trapezium(1.0, 2.0, 1e-4, 0));
	scanf("%c",&a);
	return 0;
}

Вызов методов $rectangles$ и $trapezium$ производится напосредственно в функции $printf$ .

Эти функции имеют следующие параметры:

double trapezium(double left, double right, double precision, 
    unsigned recursion_level)
double rectangles(double left, double right, double precision, 
    unsigned recursion_level)

где left - левый предел интегрирования, 
    right - правй предел интегрирования, 
    precision - точность,
    recursion_level - уровень рекурсии, который первоначально задается нулевым.

Так же в программе определяются следующие константы:

RECTS_DEFAULT - число точек,используемых в методе прямоугольников для деления 
    отрезка
TRAPZ_DEFAULT - число точек,используемых в методе трапеций для деления
    отрезка
RECURSION_LIMIT - предел рекурсий - сколько раз мы можем делить отрезок и 
    применять для каждого его подотрезка соответсвующий метод с большей точностью
DIVISION_LIMIT - предел деления - сколько раз мы можем делить отдин отрезок и 
    каждый раз применять к нему соответсвующий метод с той же точностью
    (вступает в силу после того,как закончится предел рекурсий).

Заключение

Методы прямоугольников и трапеций являются одними из простейших методов интегрирования (запрограммировать их не составляет особого труда). Но эти методы имеют лишь второй порядок точности,в то время как есть методы более высоких порядков.

Также следует отметить что автоматически выбирая шаг интегрирования мы пользуемся апостериорной оценкой погрешности по правилу Рунге,которое не является абсолютно точным, но зато не требует вычисления производных.

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B9»

Категории: Незавершённые статьи | Численное интегрирование | Учебные задачи

@@ Строка 96: / Строка 96: @@
 Видим, что квадратурная формула имеет ''второй порядок точности''.
+=== Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек ===
+Заметим, что метод прямоугольников в том виде,в котором он описан выше, не применим в общем случае к функциям,значения которых мы знаем в конечном числе точек, так как, например, мы не всегда можем разбить отрезкок интегрирования на подотрезки, серединами которых являются точки,в которых нам известно значение функции.
 == Метод трапеций ==
@@ Строка 144: / Строка 148: @@
 Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности,<tex>\Psi=O(h^2)</tex>, но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей.
+=== Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек ===
+В отличие от метода прямоугольников, метод трапеций применим к функциям, заданным в конечном числе точек, так как мы всегда можем взять в качесве узлов интегрирования данные точки.
 == Числовой пример ==
@@ Строка 152: / Строка 160: @@
 В данном случае
 <p align="center"><tex>P_2=\frac{\pi}{4}(\sin(\frac{\pi}{8})+\sin(\frac{3\pi}{8}))=1.026172</tex></p>
@@ Строка 168: / Строка 175: @@
 == Рекомендации программисту ==
+=== Оценка погрешности ===
+Величина погрешности численного интегрирования зависит как от шага сетки <tex>h</tex>, так и от гладкости подынтегральной функции <tex>f(x)</tex>. Например, в оценку {{eqref|11}}, наряду с <tex>h</tex>, входит величина
+<p align="center"><tex>M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|,</tex></p>
+которая может сильно меняться от точки к точке и, вообще говоря, заранее неизвестна. Если величина погрешности велика, то ее можно уменьшить путем измельчения сетки на данном отрезке <tex>[x_{i-1},x_i]</tex>. Для этого прежде всего надо уметь апостериорно, т.е. после проведения расчета, оценивать погрешность.
+Апостериорную оценку погрешности можно осуществить ''методом Рунге''. Пусть какая-то квадратурная формула имеет на частичном отрезке порядок точности <tex>m</tex>, т.е. <tex>I_i-I_{h,i}\approx c_i h_i^m</tex>. Тогда
+<p align="center"><tex>I_i-I_{h/2,i}\approx c_i (\frac{h_i}{2})^m,</tex></p>
+откуда получим
+{{ eqno | 16 }}
+<p align="center"><tex>I_i-I_{h,i}\approx 2^m (I_i-I_{h/2,i}),</tex></p>
+{{ eqno | 17 }}
+<p align="center"><tex>I_i-I_{h/2,i}\approx \frac{I_{h/2,i}-I_{h,i}}{2^m-1}</tex></p>
+Пусть используется составная квадратурная формула
+<p align="center"><tex>I\approx I_h=\sum_{i=1}^N{I_{h,i}}</tex></p>
+где <tex>I_{h,i}</tex> - квадратурная сумма на частичном отрезке, причем на каждом частичном отрезке используется одна и та же квадратурная формула (например, формула трапеций). Проведем на каждом частичном отрезке <tex>[x_{i-1},x_i]</tex> все вычисления дважды, один раз - с шагом <tex>h_i</tex> и второй раз - с шагом <tex>0.5h_i</tex> и оценим погрешность по правилу Рунге {{eqref|17}}:
+<p align="center"><tex>\Psi = |I-I_{h/2}|\approx \sum_{i=1}^N{|I_i-I_{h/2,i}|}=\frac{|I_{h/2}-I_{h}|}{2^m-1},</tex></p>.
+т.е. будет достигнута заданная точность <tex>\epsilon</tex>.
+Если же на каком-то из частичных отрезков оценка {{eqref|18}} не будет выполняться, то шаг на этом отрезке надо измельчить еще в два раза и снова оценить погрешность. Измельчение сетки на данном отрезке следует проводить до тех пор, пока не будет достигнута оценка вида {{eqref|18}}. Заметим, что для некоторой функции <tex>f(x)</tex> такое измельчение может продолжаться слишком долго. Поэтому в соответствующей программе следует предусмотреть ограничение сверху на число измельчений,а также вожможность увеличения <tex>\epsilon</tex>.
+Таким образом, автоматический выбор шага интегрирования приводит к тому, что интегрирование ведется с крупным шагом на участках плавного изменения функции <tex>f(x)</tex> и с мелким шагом - на участках быстрого изменения <tex>f(x)</tex>. Это позволяет при заданной точности <tex>\epsilon</tex> уменьшить количество вычислений значений <tex>f(x)</tex> по сравнению с расчетом на сетке с постоянным шагом. Подчеркнем, что для нахождения сумм <tex>I_{h/2,i}</tex> не надо пересчитывать значения <tex>f(x)</tex> во всех узлах, достаточно вычислять <tex>f(x)</tex> только в новых узлах.
 === Пример программы на языке C++ ===
@@ Строка 228: / Строка 269: @@
     (вступает в силу после того,как закончится предел рекурсий).
 </pre>
-=== Автоматический выбор шага интегрирования ===
-Величина погрешности численного интегрирования зависит как от шага сетки <tex>h</tex>, так и от гладкости подынтегральной функции <tex>f(x)</tex>. Например, в оценку {{eqref|11}}, наряду с <tex>h</tex>, входит величина
-<p align="center"><tex>M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|,</tex></p>
-которая может сильно меняться от точки к точке и, вообще говоря, заранее неизвестна. Если величина погрешности велика, то ее можно уменьшить путем измельчения сетки на данном отрезке <tex>[x_{i-1},x_i]</tex>. Для этого прежде всего надо уметь апостериорно, т.е. после проведения расчета, оценивать погрешность.
-Апостериорную оценку погрешности можно осуществить ''методом Рунге''. Пусть какая-то квадратурная формула имеет на частичном отрезке порядок точности <tex>m</tex>, т.е. <tex>I_i-I_{h,i}\approx c_i h_i^m</tex>. Тогда
-<p align="center"><tex>I_i-I_{h/2,i}\approx c_i (\frac{h_i}{2})^m,</tex></p>
-откуда получим
-{{ eqno | 16 }}
-<p align="center"><tex>I_i-I_{h,i}\approx 2^m (I_i-I_{h/2,i}),</tex></p>
-{{ eqno | 17 }}
-<p align="center"><tex>I_i-I_{h/2,i}\approx \frac{I_{h/2,i}-I_{h,i}}{2^m-1}</tex></p>
-Возможность апостериорно оценивать погрешность позволяет вычислять интеграл {{eqref|1}} с заданной точностью <tex>\epsilon >0</tex> путем автоматического выбора шага интегрирования <tex>h_i</tex>. Пусть используется составная квадратурная формула
-<p align="center"><tex>I\approx I_h=\sum_{i=1}^N{I_{h,i}}</tex></p>
-где <tex>I_{h,i}</tex> - квадратурная сумма на частичном отрезке, причем на каждом частичном отрезке используется одна и та же квадратурная формула (например, формула трапеций). Проведем на каждом частичном отрезке <tex>[x_{i-1},x_i]</tex> все вычисления дважды, один раз - с шагом <tex>h_i</tex> и второй раз - с шагом <tex>0.5h_i</tex> и оценим погрешность по правилу Рунге {{eqref|17}}.
-Если для заданного <tex>\epsilon >0</tex> будут выполняться неравенства
-{{ eqno | 18 }}
-<p align="center"><tex>|I_i-I_{h/2,i}|\approx \frac{|I_{h/2,i}-I_{h,i}|}{2^m-1} \le \frac{\epsilon h_i}{b-a},i=1,2,...,N,</tex></p>
-то получим
-<p align="center"><tex>|I-I_h/2|\le \frac{\epsilon}{b-a}\sum_{i=1}^N{h_i}=\epsilon,</tex></p>
-т.е. будет достигнута заданная точность <tex>\epsilon</tex>.
-Если же на каком-то из частичных отрезков оценка {{eqref|18}} не будет выполняться, то шаг на этом отрезке надо измельчить еще в два раза и снова оценить погрешность. Измельчение сетки на данном отрезке следует проводить до тех пор, пока не будет достигнута оценка вида {{eqref|18}}. Заметим, что для некоторой функции <tex>f(x)</tex> такое измельчение может продолжаться слишком долго. Поэтому в соответствующей программе следует предусмотреть ограничение сверху на число измельчений,а также вожможность увеличения <tex>\epsilon</tex>.
-Таким образом, автоматический выбор шага интегрирования приводит к тому, что интегрирование ведется с крупным шагом на участках плавного изменения функции <tex>f(x)</tex> и с мелким шагом - на участках быстрого изменения <tex>f(x)</tex>. Это позволяет при заданной точности <tex>\epsilon</tex> уменьшить количество вычислений значений <tex>f(x)</tex> по сравнению с расчетом на сетке с постоянным шагом. Подчеркнем, что для нахождения сумм <tex>I_{h/2,i}</tex> не надо пересчитывать значения <tex>f(x)</tex> во всех узлах, достаточно вычислять <tex>f(x)</tex> только в новых узлах.
 == Заключение ==

Методы прямоугольников и трапеций

Материал из MachineLearning.

Версия 16:09, 2 ноября 2008

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Метод прямоугольников

Формула прямоугольников на частичном отрезке и ее погрешность

Составная формула прямоугольников и ее погрешность

Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек

Метод трапеций

Формула трапеций на частичном отрезке и ее погрешность

Составная формула трапеций и ее погрешность

Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек

Числовой пример

Рекомендации программисту

Оценка погрешности

Пример программы на языке C++

Заключение

Список литературы

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты