Коэффициент корреляции Кенделла
Материал из MachineLearning.
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | Корреляцию Кенделла также называют мерой взаимной неупорядоченности или рассогласования. | ||
+ | |||
Заданы две выборки <tex>x = (x_1,\ldots,x_n),\;\; y = (y_1,\ldots,y_n)</tex>. | Заданы две выборки <tex>x = (x_1,\ldots,x_n),\;\; y = (y_1,\ldots,y_n)</tex>. | ||
'''[[Коэффициент корреляции]]''', предложенный Кенделлом равен | '''[[Коэффициент корреляции]]''', предложенный Кенделлом равен | ||
- | :: <tex>\ | + | :: <tex>\tau=1-\frac{4}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\left[[x_i<x_j]\neq[y_i<y_j]\right]</tex>, |
- | где [логическое выражение]=1, если логическое выражение верно, иначе 0, например, | + | где [логическое выражение]=1, если логическое выражение верно, иначе, 0, например, |
<tex>[x_i<x_j]=\left\{ \begin{array}{l} 1, x_i>x_j;\\ 0, x_i \geq x_j.\\ \end{array} \right</tex> | <tex>[x_i<x_j]=\left\{ \begin{array}{l} 1, x_i>x_j;\\ 0, x_i \geq x_j.\\ \end{array} \right</tex> | ||
+ | |||
+ | Коэффициент <tex>\tau</tex> принимает значения от -1 до 1. Равенство <tex>\tau=1</tex> указывает на строгую линейную корреляцию. | ||
'''Гипотеза <tex>H_0</tex>:''' Выборки <tex>x</tex> и <tex>y</tex> независимы. | '''Гипотеза <tex>H_0</tex>:''' Выборки <tex>x</tex> и <tex>y</tex> независимы. | ||
'''Статистика критерия:''' | '''Статистика критерия:''' | ||
- | ::<tex>\frac{\ | + | ::<tex>\frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}},</tex> |
- | где <tex>D_{\ | + | где <tex>D_{\tau}=\frac{2(2n+5)}{9n(n-1)}</tex>. |
При <tex>n\geq 10</tex> статистику критерия можно приблизить нормальным распределением с параметрами (0,1): | При <tex>n\geq 10</tex> статистику критерия можно приблизить нормальным распределением с параметрами (0,1): | ||
- | ::<tex>\frac{\ | + | ::<tex>\frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}}\sim N(0,1)</tex> |
'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>): | '''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>): | ||
- | *против альтернативы <tex>H_1</tex>: | + | *против альтернативы <tex>H_1</tex>: наличие корреляции |
- | :: если <tex>|\ | + | :: если <tex>|\tau| > \tau_{\alpha}=u_{\alpha}\cdot\sqrt{D_{\tau_{xy}}} </tex>, где <tex>u_{\alpha}</tex> — <tex>\alpha</tex>-квантиль стандартного нормального распределения. |
+ | |||
+ | ==Связь коэффициента корреляции Кенделла с обычным коэфициентом корреляции== | ||
+ | |||
+ | В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла <tex>\tau</tex> может быть использован для оценки обычного [[коэффициент корреляциии|коэффициента корреляции]] <tex>r</tex> по формуле | ||
+ | :: <tex>r=sin{\frac{\pi\tau}{2}}</tex> | ||
+ | |||
+ | ==Связь коэффициента корреляции Кенделла с [[коэффициент корреляциии Спирмена|коэффициентом корреляциии Спирмена]]== | ||
+ | |||
+ | Выборкам <tex>x</tex> и <tex>y</tex> соответствуют последовательности рангов: | ||
+ | ::<tex>R_x=(R_{x_1},\ldots,R_{x_n})</tex>, где <tex>R_{x_i}</tex> — ранг <tex>i</tex>-го объекта в [[вариационный ряд|вариационном ряду]] выборки <tex>x</tex>; | ||
+ | ::<tex>R_y=(R_{y_1},\ldots,R_{y_n})</tex>, где <tex>R_{y_i}</tex> — ранг <tex>i</tex>-го объекта в [[вариационный ряд|вариационном ряду]] выборки <tex>y</tex>. | ||
+ | |||
+ | Проведем операцию упорядочевания рангов. | ||
+ | |||
+ | Расположим ряд значений <tex>x_i</tex> в порядке возрастания величины: <tex>x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n</tex>. Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки <tex>x</tex> будет представлять собой последовательность натуральных чисел <tex>1,2,\cdots,n</tex>. Значения <tex>y</tex>, соответствующие значениям <tex>x</tex>, образуют в этом случае некоторую последовательность рангов <tex>T=(T_1,\cdots,T_n)</tex>. | ||
+ | |||
+ | ::<tex>(R_{x_i},R_{y_i})\rightarrow (i,T_i),\; i=1,\cdots,n</tex> | ||
+ | |||
+ | Коэффициент корриляции Кенделла <tex>\tau</tex> и коэффициент корриляции Спирмена <tex>\rho</tex> выражаются через ранги <tex>T_i,\; i=1,\cdots,n</tex> следующим образом: | ||
+ | ::<tex>\rho=1-\frac{12}{n^3-n}\sum_{i<j}{(j-i)[T_i>T_j]}</tex> | ||
+ | ::<tex>\tau=1-\frac{4}{n^2-1}\sum_{i<j}[T_i>T_j]</tex> | ||
+ | Коэффициент корриляции Спирмена учитывает насколько сильна неупорядоченность. | ||
== Литература == | == Литература == | ||
# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с. | # ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с. |
Версия 08:30, 6 ноября 2008
Корреляцию Кенделла также называют мерой взаимной неупорядоченности или рассогласования.
Заданы две выборки .
Коэффициент корреляции, предложенный Кенделлом равен
- ,
где [логическое выражение]=1, если логическое выражение верно, иначе, 0, например,
Коэффициент принимает значения от -1 до 1. Равенство указывает на строгую линейную корреляцию.
Гипотеза : Выборки и независимы.
Статистика критерия:
где .
При статистику критерия можно приблизить нормальным распределением с параметрами (0,1):
Критерий (при уровне значимости ):
- против альтернативы : наличие корреляции
- если , где — -квантиль стандартного нормального распределения.
Связь коэффициента корреляции Кенделла с обычным коэфициентом корреляции
В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла может быть использован для оценки обычного коэффициента корреляции по формуле
Связь коэффициента корреляции Кенделла с коэффициентом корреляциии Спирмена
Выборкам и соответствуют последовательности рангов:
- , где — ранг -го объекта в вариационном ряду выборки ;
- , где — ранг -го объекта в вариационном ряду выборки .
Проведем операцию упорядочевания рангов.
Расположим ряд значений в порядке возрастания величины: . Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки будет представлять собой последовательность натуральных чисел . Значения , соответствующие значениям , образуют в этом случае некоторую последовательность рангов .
Коэффициент корриляции Кенделла и коэффициент корриляции Спирмена выражаются через ранги следующим образом:
Коэффициент корриляции Спирмена учитывает насколько сильна неупорядоченность.
Литература
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.