Коэффициент корреляции Кенделла

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 +
Корреляцию Кенделла также называют мерой взаимной неупорядоченности или рассогласования.
 +
Заданы две выборки <tex>x = (x_1,\ldots,x_n),\;\; y = (y_1,\ldots,y_n)</tex>.
Заданы две выборки <tex>x = (x_1,\ldots,x_n),\;\; y = (y_1,\ldots,y_n)</tex>.
'''[[Коэффициент корреляции]]''', предложенный Кенделлом равен
'''[[Коэффициент корреляции]]''', предложенный Кенделлом равен
-
:: <tex>\tau_{xy}=1-\frac{4}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\left[[x_i<x_j]\neq[y_i<y_j]\right]</tex>,
+
:: <tex>\tau=1-\frac{4}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\left[[x_i<x_j]\neq[y_i<y_j]\right]</tex>,
-
где [логическое выражение]=1, если логическое выражение верно, иначе 0, например,
+
где [логическое выражение]=1, если логическое выражение верно, иначе, 0, например,
<tex>[x_i<x_j]=\left\{ \begin{array}{l} 1, x_i>x_j;\\ 0, x_i \geq x_j.\\ \end{array} \right</tex>
<tex>[x_i<x_j]=\left\{ \begin{array}{l} 1, x_i>x_j;\\ 0, x_i \geq x_j.\\ \end{array} \right</tex>
 +
 +
Коэффициент <tex>\tau</tex> принимает значения от -1 до 1. Равенство <tex>\tau=1</tex> указывает на строгую линейную корреляцию.
'''Гипотеза <tex>H_0</tex>:''' Выборки <tex>x</tex> и <tex>y</tex> независимы.
'''Гипотеза <tex>H_0</tex>:''' Выборки <tex>x</tex> и <tex>y</tex> независимы.
'''Статистика критерия:'''
'''Статистика критерия:'''
-
::<tex>\frac{\tau_{xy}}{\sqrt{D_{\tau_{xy}}}},</tex>
+
::<tex>\frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}},</tex>
-
где <tex>D_{\tau_{xy}}=\frac{2(2n+5)}{9n(n-1)}</tex>.
+
где <tex>D_{\tau}=\frac{2(2n+5)}{9n(n-1)}</tex>.
При <tex>n\geq 10</tex> статистику критерия можно приблизить нормальным распределением с параметрами (0,1):
При <tex>n\geq 10</tex> статистику критерия можно приблизить нормальным распределением с параметрами (0,1):
-
::<tex>\frac{\tau_{xy}}{\sqrt{D_{\tau_{xy}}}}\sim N(0,1)</tex>
+
::<tex>\frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}}\sim N(0,1)</tex>
'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
-
*против альтернативы <tex>H_1</tex>: выборки зависимы, есть монотонная связь
+
*против альтернативы <tex>H_1</tex>: наличие корреляции
-
:: если <tex>|\tau_{xy}| > \tau_{\alpha}=u_{\alpha}\cdot\sqrt{D_{\tau_{xy}}} </tex>, где <tex>u_{\alpha}</tex> — <tex>\alpha</tex>-квантиль стандартного нормального распределения.
+
:: если <tex>|\tau| > \tau_{\alpha}=u_{\alpha}\cdot\sqrt{D_{\tau_{xy}}} </tex>, где <tex>u_{\alpha}</tex> — <tex>\alpha</tex>-квантиль стандартного нормального распределения.
 +
 
 +
==Связь коэффициента корреляции Кенделла с обычным коэфициентом корреляции==
 +
 
 +
В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла <tex>\tau</tex> может быть использован для оценки обычного [[коэффициент корреляциии|коэффициента корреляции]] <tex>r</tex> по формуле
 +
:: <tex>r=sin{\frac{\pi\tau}{2}}</tex>
 +
 
 +
==Связь коэффициента корреляции Кенделла с [[коэффициент корреляциии Спирмена|коэффициентом корреляциии Спирмена]]==
 +
 
 +
Выборкам <tex>x</tex> и <tex>y</tex> соответствуют последовательности рангов:
 +
::<tex>R_x=(R_{x_1},\ldots,R_{x_n})</tex>, где <tex>R_{x_i}</tex> — ранг <tex>i</tex>-го объекта в [[вариационный ряд|вариационном ряду]] выборки <tex>x</tex>;
 +
::<tex>R_y=(R_{y_1},\ldots,R_{y_n})</tex>, где <tex>R_{y_i}</tex> — ранг <tex>i</tex>-го объекта в [[вариационный ряд|вариационном ряду]] выборки <tex>y</tex>.
 +
 
 +
Проведем операцию упорядочевания рангов.
 +
 
 +
Расположим ряд значений <tex>x_i</tex> в порядке возрастания величины: <tex>x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n</tex>. Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки <tex>x</tex> будет представлять собой последовательность натуральных чисел <tex>1,2,\cdots,n</tex>. Значения <tex>y</tex>, соответствующие значениям <tex>x</tex>, образуют в этом случае некоторую последовательность рангов <tex>T=(T_1,\cdots,T_n)</tex>.
 +
 
 +
::<tex>(R_{x_i},R_{y_i})\rightarrow (i,T_i),\; i=1,\cdots,n</tex>
 +
 
 +
Коэффициент корриляции Кенделла <tex>\tau</tex> и коэффициент корриляции Спирмена <tex>\rho</tex> выражаются через ранги <tex>T_i,\; i=1,\cdots,n</tex> следующим образом:
 +
::<tex>\rho=1-\frac{12}{n^3-n}\sum_{i<j}{(j-i)[T_i>T_j]}</tex>
 +
::<tex>\tau=1-\frac{4}{n^2-1}\sum_{i<j}[T_i>T_j]</tex>
 +
Коэффициент корриляции Спирмена учитывает насколько сильна неупорядоченность.
== Литература ==
== Литература ==
# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с.
# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с.

Версия 08:30, 6 ноября 2008

Корреляцию Кенделла также называют мерой взаимной неупорядоченности или рассогласования.

Заданы две выборки x = (x_1,\ldots,x_n),\;\; y = (y_1,\ldots,y_n).

Коэффициент корреляции, предложенный Кенделлом равен

\tau=1-\frac{4}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\left[[x_i<x_j]\neq[y_i<y_j]\right],

где [логическое выражение]=1, если логическое выражение верно, иначе, 0, например, [x_i<x_j]=\left\{ \begin{array}{l} 1, x_i>x_j;\\     0, x_i \geq x_j.\\ \end{array} \right

Коэффициент \tau принимает значения от -1 до 1. Равенство \tau=1 указывает на строгую линейную корреляцию.

Гипотеза H_0: Выборки x и y независимы.

Статистика критерия:

\frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}},

где D_{\tau}=\frac{2(2n+5)}{9n(n-1)}.

При n\geq 10 статистику критерия можно приблизить нормальным распределением с параметрами (0,1):

\frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}}\sim N(0,1)

Критерий (при уровне значимости \alpha):

  • против альтернативы H_1: наличие корреляции
если |\tau| > \tau_{\alpha}=u_{\alpha}\cdot\sqrt{D_{\tau_{xy}}} , где u_{\alpha}\alpha-квантиль стандартного нормального распределения.

Связь коэффициента корреляции Кенделла с обычным коэфициентом корреляции

В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла \tau может быть использован для оценки обычного коэффициента корреляции r по формуле

r=sin{\frac{\pi\tau}{2}}

Связь коэффициента корреляции Кенделла с коэффициентом корреляциии Спирмена

Выборкам x и y соответствуют последовательности рангов:

R_x=(R_{x_1},\ldots,R_{x_n}), где R_{x_i} — ранг i-го объекта в вариационном ряду выборки x;
R_y=(R_{y_1},\ldots,R_{y_n}), где R_{y_i} — ранг i-го объекта в вариационном ряду выборки y.

Проведем операцию упорядочевания рангов.

Расположим ряд значений x_i в порядке возрастания величины: x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n. Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки x будет представлять собой последовательность натуральных чисел 1,2,\cdots,n. Значения y, соответствующие значениям x, образуют в этом случае некоторую последовательность рангов T=(T_1,\cdots,T_n).

(R_{x_i},R_{y_i})\rightarrow (i,T_i),\; i=1,\cdots,n

Коэффициент корриляции Кенделла \tau и коэффициент корриляции Спирмена \rho выражаются через ранги T_i,\; i=1,\cdots,n следующим образом:

\rho=1-\frac{12}{n^3-n}\sum_{i<j}{(j-i)[T_i>T_j]}
\tau=1-\frac{4}{n^2-1}\sum_{i<j}[T_i>T_j]

Коэффициент корриляции Спирмена учитывает насколько сильна неупорядоченность.

Литература

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
Личные инструменты