Стандартизация задач с помощью замены переменных

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 09:24, 24 ноября 2008

Содержание

1 Введение
2 Формула замены переменных в неопределенном интеграле
3 Формула замены переменных в определенном интеграле
- 3.1 Квадратурные формулы интерполяционного типа
4 Формула замены переменных в кратном интеграле
5 Сведения об интегралах с бесконечными пределами
6 Соотношение равномощности
7 Заключение
8 Литература
9 См. также

Введение

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема.

Пусть функции $f(x)$ и $\phi(x)$ определены соответственно на промежутках $\Delta_x$ и $\Delta_y$ , причем $\phi(\Delta_t) \subset \Delta_x$ . Если функция $f$ имеет на $\Delta_x$ первообразную $F{x)$ и, следовательно,

(1)

а функция $\phi(x)$ дифференцируема на $\Delta_t$ , то функция $f(\phi(t))\phi^,(t)$ имеет на $\Delta_t$ , первообразную $F(\phi(t))$ и

(2)

Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой $\phi(t) = x$ . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл ), можно сделать подстановку $x = \phi(t)$ , вычислить интеграл $\int f(x) dx$ и затем вернуться к переменной $t$ , положив $x = \phi(t)$ .

Примеры.

1. Для вычисления интеграла $\int cos ax dx$ естественно сделать подстановку $u = ax$ , тогда

2. Для вычисления интеграла удобно применить подстановку $u = x^3 + a^3$ :

3. При вычислении интегралов вида полезна подстановка $u = \phi(x)$ :

Например,

Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:

Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла $\int f(x) dx$ с помощью соответствующей замены переменного $x = \phi(t)$ свести к вычислению интеграла (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).

В случае, когда функция $\phi$ имеет обратную $\phi^{-1}$ , перейдя в обеих частях формулы (2) к переменной $x$ с помощью подстановки $t = \phi^{-1}(x)$ и поменяв местами стороны равенства, получим

Эта формула называется обычно формулой интегрирования заменой переменной.

Для того чтобы существовала функция $\phi^{-1}$ , обратная $\phi$ , в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке $\Delta_t$ функция $\phi$ была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция $\phi^{-1}$ .

4. Интегралы вида в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.

Действительно, замечая, что , сделаем замену переменной и положим . Тогда и, в силу формулы (2), получим

(перед $t^2$ стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной $t$ к переменной $x$ , получим искомый интеграл.

Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида

5. Интеграл можно вычислить с помощью подстановки $x = a sin t$ . Имеем $dx = a cos t dt$ , поэтому

Подставляя это выражение $t = arcsin \frac{x}{a}$ и замечая, что

окончательно будем иметь

Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.

Формула замены переменных в определенном интеграле

Теорема.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a'; b']$ , а функция $\phi(t)$ имеет непрерывную производную $\phi'(t)$ на отрезке $[\alpha; \beta]$ , причём все значения $x = \phi(t)$ при $[t \in{\alpha};{\beta}]$ принадлежат отрезку $[a'; b']$ , в том числе $\phi(\alpha) = a$ и $\phi(\beta) = b$ . Тогда имеет место равенство

Замечание.

Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной $x$ не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной $t$ . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.

Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной $x$ должны быть указаны пределы изменения именно $x$ (то есть $a$ и $b$ ), в то время как в исходном интеграле по переменной $t$ указаны пределы изменения $t$ (то есть $\alpha$ и $\beta$ ).

Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.

Пример.

Вычислим интеграл

Для этого сделаем замену $x = \phi(t) = \sin t$ , откуда $dx = \phi'(t)dt = \cos t dt$ . Кроме того, при $t = 0$ имеем $x = \sin 0 = 0$ , а при $t = \frac{\pi}{2}$ имеем $x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ . Получаем:

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов

(3)

где $p(x) > 0$ — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и $f(x)$ — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид

(4)

где $x \in[{a};{b}]$ и $c_k$ — числа, $k = 0, 1, ..., n$ .

Получим квадратурные формулы путем замены $f(x)$ интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке $[a, b]$ . Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда $n = 0, 1, 2, p(x) = 1$ .

Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа. Пусть на отрезке $[a, b]$ заданы узлы интерполирования $x_k, k = 0, 1, ... n$ . Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на $[a, b]$ .

Заменяя в интеграле (3) функцию $f(x)$ интерполяционным многочленом Лагранжа

получим приближенную формулу (4), где

(5)

Таким образом, формула (4) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (5).

Формула замены переменных в кратном интеграле

Сведения об интегралах с бесконечными пределами

Соотношение равномощности

Заключение

Литература

Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа в 3 томах.
З.И. Гурова, С.Н. Каролинская, А.П. Осипова. Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами.
А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
http://de.ifmo.ru/bk_netra/page.php?index=42&layer=1&tutindex=21#2
http://sesia5.ru/vmat/gl5/21.html

См. также

Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87_%D1%81_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E_%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8B_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85»

Категории: Незавершённые статьи | Численное интегрирование | Учебные задачи

@@ Строка 112: / Строка 112: @@
 ::[[Изображение:Img2.png‎]]
 === Квадратурные формулы интерполяционного типа ===
+Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов
+::[[Изображение:W1.png‎]] (3)
+где <tex> p(x) > 0 </tex> — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и <tex> f(x) </tex> — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид
+::[[Изображение:W2.png‎]] (4)
+где <tex> x \in[{a};{b}] </tex> и <tex> c_k </tex> — числа, <tex> k = 0, 1, ..., n </tex>.
+Получим квадратурные формулы путем замены <tex> f(x) </tex> интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке <tex> [a, b] </tex>. Полученные таким образом формулы называются ''квадратурными формулами интерполяционного типа''. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда <tex> n = 0, 1, 2, p(x) = 1 </tex>.
+Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа.
+Пусть на отрезке <tex> [a, b] </tex> заданы узлы интерполирования <tex> x_k, k = 0, 1, ... n </tex>. Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на <tex> [a, b] </tex>.
+Заменяя в интеграле {{eqref|3}} функцию <tex> f(x) </tex> интерполяционным многочленом Лагранжа
+::[[Изображение:W3.png‎]]
+получим приближенную формулу {{eqref|4}}, где
+::[[Изображение:W4.png‎]] (5)
+Таким образом, формула {{eqref|4}} является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу {{eqref|5}}.
 == Формула замены переменных в кратном интеграле ==