Участник:Пасконова Ольга/Песочница

Материал из MachineLearning.

Версия 11:20, 24 ноября 2008

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема.

Пусть функции и определены соответственно на промежутках и , причем . Если функция имеет на первообразную и, следовательно,

(1)

а функция дифференцируема на , то функция имеет на , первообразную и

(2)

Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл ), можно сделать подстановку , вычислить интеграл и затем вернуться к переменной , положив .

Примеры.

1. Для вычисления интеграла естественно сделать подстановку , тогда

2. Для вычисления интеграла удобно применить подстановку :

3. При вычислении интегралов вида полезна подстановка :

Например,

Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:

Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла с помощью соответствующей замены переменного свести к вычислению интеграла (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).

В случае, когда функция имеет обратную , перейдя в обеих частях формулы (2) к переменной с помощью подстановки и поменяв местами стороны равенства, получим

Эта формула называется обычно формулой интегрирования заменой переменной.

Для того чтобы существовала функция , обратная , в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке функция была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция .

4. Интегралы вида в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.

Действительно, замечая, что , сделаем замену переменной и положим . Тогда и, в силу формулы (2), получим

(перед стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной к переменной , получим искомый интеграл.

Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида

5. Интеграл можно вычислить с помощью подстановки . Имеем , поэтому

Подставляя это выражение и замечая, что

окончательно будем иметь

Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.

Формула замены переменных в определенном интеграле

Теорема.

Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция имеет непрерывную производную на отрезке , причём все значения при принадлежат отрезку , в том числе и . Тогда имеет место равенство

Замечание.

Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.

Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной должны быть указаны пределы изменения именно (то есть и ), в то время как в исходном интеграле по переменной указаны пределы изменения (то есть и ).

Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.

Пример.

Вычислим интеграл

Для этого сделаем замену , откуда . Кроме того, при имеем , а при имеем . Получаем:

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов

(3)

где — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид

(4)

где и — числа, .

Получим квадратурные формулы путем замены интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке . Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда .

Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа. Пусть на отрезке заданы узлы интерполирования . Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на .

Заменяя в интеграле (3) функцию интерполяционным многочленом Лагранжа

получим приближенную формулу (4), где

(5)

Таким образом, формула (4) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (5).

Формула замены переменных в кратном интеграле

Пусть — непрерывно дифференцируемое взаимпо-однозпачное отображение открытого множества в пространство и его якобиан не обращается в нуль на множестве .

Теорема.

Если — измеримое множество, содержащееся вместе со своим замыканием в открытом множестве : , а функция непрерывна на множестве , то

(6)

Эта формула равносильна формуле

с (7)

Действительно, ограниченная функция одновременно интегрируема или нет как на измеримом множестве, так и на его замыкании, причем в случае интегрируемости интегралы от функции по множеству и по его замыканию совпадают.

В нашем случае функции и непрерывны соответственно на компактах и (являющихся замыканием измеримых множеств и ), следовательно, ограничены и интегрируемы на них.

Таким образом, все входящие в формулы (6) и (7) интегралы существуют, а сами эти формулы равносильны. Эти формулы называются формулами замены переменных в кратном интеграле.

Замена переменных в кратном интеграле часто существен¬но упрощает его исследование и вычисление. При отом в от¬личие от однократного интеграла нередко целью замены пе¬ременного является не упрощение подынтегральной функ¬ции, а переход к более простой области интегрирования даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции. В качестве примера применения формулы замены перемен¬ных в кратном интеграле рассмотрим для двумерного интегра¬ла случай перехода от декартовых координат к полярным. Рассмотрим плоскость, на которой декартовы координаты обозначены г, ф и па пей открытый прямоугольник С {(г, ф) : 0 < г < R, 0 < ф < 2л}. При отображении х = г cos ф, у г sin ф, 0 < ф < 2пч 0 < г < R, (16.69) прямоугольник G отображается на множество & плоскости с декартовыми координатами хч уч которое представляет собой круг х2 + у2 < R2, из которого удален радиус 0<х<й, г/=0 (рис. 69). Отображение (16.69) и его якобиан = г Э(х, у) Э(г, (р) нт(р непрерывно продолжаемы на замкнутый прямоугольник G {(г, ф):О<г<й, 0<ф<2я}, ФА У

образом которого при продол¬женном отображении является х О R замкнутый круг G, па котором отображение (16.69) уже не яв¬ ляется взаимно-однозначным: взаимная однозначность нару¬ шается на гоанинс ПОЯМОУГОЛЬ- Рис, 69 пика G — отрезки 0 < х < R при ф 0 и ф = 2тг отображаются в один и тот же отрезок 0 < х < R, у 0, а отрезок г 0, 0 < ф < 2к и вовсе отображается в точку (0, 0). Якобиан продолженного отображения обращается в пуль при г 0. Согласно теореме 2, для отображения (16.69) и непрерыв¬ной на круге х2 Н- у2 < R2 функции f(x, у) имеет место формула М [{%> y)dxdy \\ /(гсозф, rs'm<p)rdrd<p. Приведем конкретный пример вычисления интеграла по этой формуле: