Критерий хи-квадрат

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 20:27, 8 декабря 2008

Содержание

1 Определение
2 Проверка гипотезы
3 Пример 1
4 Сложная гипотеза
5 Пример 2
6 Проблемы
7 Литература
8 Ссылки

Определение

Критерий $\chi^2$ - наиболее часто используемый статистический критерий для проверки гипотезы $H_0$ , что наблюдаемая случайная величина подчиняется некому теоретическому закону распределения.

Пусть дана случайная величина X .

Гипотеза $H_0$ : с. в. X подчиняется закону распределения $F(x)$ .

Для проверки гипотезы рассмотрим выборку, состоящую из n независимых наблюдений над с.в. X: $X^n = \left( x_1, \cdots \x_n \right), \; x_i \in \left[ a, b \right], \; \forall i=1 \dots n$ . По выборке построим эмпирическое распределение $F^*(x)$ с.в X. Сравнение эмпирического $F^*(x)$ и теоретического распределения $F(x)$ производится с помощью специально подобранной случайной величины — критерия согласия. Рассмотрим критерий согласия Пирсона (критерий $\chi^2$ ):

Гипотеза $H_0^*$ : Хⁿ порождается функцией $F^*(x)$ .

Разделим [a,b] на k непересекающихся интервалов $(a_i, b_i], \; i=1 \dots k$ ;

Пусть $n_j$ - количество наблюдений в j-м интервале: $n_j = \sum_{i=1}^n \left[ a_i <x \leq b_i \right]$ ;

$p_j = F(b_j)-F(a_j)$ - вероятность попадания наблюдения в j-ый интервал при выполнении гипотезы $H_0^*$ ;

$E_j = np_j$ Ожидаемое число попаданий в j-ый интервал;

Статистика: $\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j} \sim \chi_{k-1}^2$ - Распределение хи-квадрат с k-1 степенью свободы.

Проверка гипотезы $H_0$

Распределение хи-квадрат

В зависимости от значения критерия $\chi^2$ , гипотеза $H_0$ может приниматься, либо отвергаться:

$\chi^2_1 < \chi^2 < \chi^2_2$ , гипотеза $H_0$ выполняется.

$\chi^2 \leq \chi^2_1$ (попадает в левый "хвост" распределения) гипотеза $H_0$ отвергается.

$\chi^2 \geq \chi^2_2$ (попадает в правый "хвост" распределения) гипотеза $H_0$ отвергается.

Пример 1

Проверим гипотезу $H_0$ : если взять случайную выборку 100 человек из некоторой популяции, в которой количество мужчин и женщин примерно одинаково (встречаются с одинаковой частотой), то в наблюдаемой выборке отношение количества мужчин и женщин будет соотноситься с частотой по всей популяции (50/50). Пусть в наблюдаемой выборке 46 мужчин и 54 женщины, тогда число степеней свобод $k-1=2-1=1$ и

$\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j}= \frac{\left(46-50 \right)^2}{50}+\frac{\left(54-50 \right)^2}{50}=0,64$

Т.о. при уровне значимости $\alpha=0.05$ гипотеза $H_0$ выполняется (см. таблицу значений ф-ии $\chi^2_1$ ).

Сложная гипотеза

Гипотеза $H_0^*$ : Хⁿ порождается функцией $F(x,\theta),\; \theta \in R^d,\; \theta$ - неизвестна. Найдем $\hat{\theta}$ с помощью метода максимального правдоподобия.

$p_j(\theta)=F(b_j,\theta)-F(a_j,\theta)$ , $n_j = \sum_{i=1}^n \left[ a_i <x \leq b_i \right]$ , $\left(a_j,b_j \right]$ - фиксированы при $j=1 \dots k$ .

$\hat{\theta} = \arg \max_{\theta} \sum n_j \ln p_j(\theta)$

Теорема Фишера Для проверки сложной гипотезы критерий $\chi^2$ представляется в виде:

$\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j} \sim \chi_{k-d-1}^2$ , где $E_j=n p_j\left(\hat{\theta}\right)$

Пример 2

Пусть есть квадрат на местности, разделенный сеткой из 24-ёх горизонтальных и 24-ёх вертикальных линий на 576 равных участков. По квадрату производится артиллерийский обстрел. Подсчитывается количество попаданий снарядов в каждый из участков. Получены следующие данные: 0 попаданий - 229 участков, 1 попадание - 211 участок, 2 - 93, 3 - 35, 4 - 7, 5 и 6 - 0, 7 - 1 попадание. Гипотеза $H_0$ : стрельба случайна (нет "целевых" участков).

Закон редких событий (распределение Пуассона)

$P{S=j}=\frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}$ , S - число попаданий $\hat{\lambda}=0.924$

$\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j}= 32.6 \sim \chi_{8-1-1}^2$

Тогда при уровне значимости $\alpha=0.05$ гипотеза $H_0$ не выполняется (см. таблицу значений ф-ии $\chi^2_6$ ).

Объединим события (4,5,6,7) с малой частотой попаданий в одно, тогда имеем:

1 попадание - 211 участок, 2 - 93, 3 - 35, {4,5,6,7} - 8.

$\chi^2 = 1.05 \sim \chi_{5-1-1}^2$

огда при уровне значимости $\alpha=0.05$ гипотеза H_0</tex> верна.

Проблемы

Критерий $\chi^2$ ошибается на выборках с низкочастотоными (редкими) событиями. Решить эту проблему можно отбросив либо объединив низкочастотные события с другими событиями.

Литература

Ссылки

[Критерий хи-квадрат (en.wiki)]

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D1%85%D0%B8-%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82»

Категории: Незавершённые статьи | Прикладная статистика | Энциклопедия анализа данных

@@ Строка 36: / Строка 36: @@
 * <tex>\chi^2 \geq \chi^2_2</tex> (попадает в правый "хвост" распределения) гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается.
-== Пример ==
+== Пример 1 ==
 Проверим гипотезу <tex>H_0</tex>: если взять случайную выборку 100 человек из некоторой популяции, в которой количество мужчин и женщин примерно одинаково (встречаются с одинаковой частотой), то в наблюдаемой выборке отношение количества мужчин и женщин будет соотноситься с частотой по всей популяции (50/50). Пусть в наблюдаемой выборке 46 мужчин и 54 женщины, тогда число степеней свобод <tex>k-1=2-1=1</tex> и
@@ Строка 42: / Строка 42: @@
 <tex>\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j}= \frac{\left(46-50 \right)^2}{50}+\frac{\left(54-50 \right)^2}{50}=0,64 </tex>
-Т.о. при уровне значимости <tex>\alpha=0.05</tex> гипотеза <tex>H_0</tex> выполняется (см таблицу значений ф-ии <tex>\chi^2_k</tex>).
+Т.о. при уровне значимости <tex>\alpha=0.05</tex> гипотеза <tex>H_0</tex> выполняется (см. таблицу значений ф-ии <tex>\chi^2_1</tex>).
 == Сложная гипотеза ==
@@ Строка 53: / Строка 53: @@
-'''Теорема Фишера''' <tex>\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j} \sim \chi_{k-d-1}^2</tex>, где  <tex>E_j=n p_j\left(\hat{\theta}\right)</tex>
+'''Теорема Фишера''' Для проверки сложной гипотезы критерий <tex>\chi^2</tex> представляется в виде:
+<tex>\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j} \sim \chi_{k-d-1}^2</tex>, где  <tex>E_j=n p_j\left(\hat{\theta}\right)</tex>
+== Пример 2 ==
+Пусть есть квадрат на местности, разделенный сеткой из 24-ёх горизонтальных и 24-ёх вертикальных линий на 576 равных участков. По квадрату производится артиллерийский обстрел. Подсчитывается количество попаданий снарядов в каждый из участков. Получены следующие данные: 0 попаданий - 229 участков, 1 попадание - 211 участок, 2 - 93, 3 - 35, 4 - 7, 5 и 6 - 0, 7 - 1 попадание. Гипотеза <tex>H_0</tex>: стрельба случайна (нет "целевых" участков).
+Закон редких событий ([[Распределение Пуассона|распределение Пуассона]])
+<tex>P{S=j}=\frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}</tex>, S - число попаданий <tex>\hat{\lambda}=0.924</tex>
+<tex>\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j}= 32.6 \sim \chi_{8-1-1}^2</tex>
+Тогда при уровне значимости <tex>\alpha=0.05</tex> гипотеза <tex>H_0</tex> не выполняется (см. таблицу значений ф-ии <tex>\chi^2_6</tex>).
+Объединим события (4,5,6,7) с малой частотой попаданий в одно, тогда имеем:
+попадание - 211 участок, 2 - 93, 3 - 35, {4,5,6,7} - 8.
+<tex>\chi^2 = 1.05 \sim \chi_{5-1-1}^2</tex>
+огда при уровне значимости <tex>\alpha=0.05</tex> гипотеза H_0</tex> верна.
+== Проблемы ==
+Критерий <tex>\chi^2</tex> ошибается на выборках с низкочастотоными (редкими) событиями. Решить эту проблему можно отбросив либо объединив низкочастотные события с другими событиями.
 == Литература ==