Участник:Валентин Голодов/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 12: Строка 12:
Подобно интегрированию без этого весового множителя, зададимся некоторыми <tex>d_1,\ldots,d_n \in [-1,1]</tex> и построим
Подобно интегрированию без этого весового множителя, зададимся некоторыми <tex>d_1,\ldots,d_n \in [-1,1]</tex> и построим
-
[интерполяционный многочлен Лагранжа]<tex>L_n(x)</tex> степени <tex>n-1,</tex> совпадающий с <tex>f(x)</tex> в точках <tex>x_j=\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}d_j,</tex> <tex>j=1,\ldots,n</tex> и заменим исходный интеграл на {{ eqno | 2 }}<tex>\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}.</tex> <br /> Последний интеграл vожет быть вычислен в явном виде
+
[[интерполяционный многочлен Лагранжа]]<tex>L_n(x)</tex> степени <tex>n-1,</tex> совпадающий с <tex>f(x)</tex> в точках <tex>x_j=\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}d_j,</tex> <tex>j=1,\ldots,n</tex> и заменим исходный интеграл на {{ eqno | 2 }}<tex>\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}.</tex> <br /> Последний интеграл vожет быть вычислен в явном виде
::<tex>\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}=S_n^\omega(f)=\frac{b-a}{2}exp{\left\{\imath\omega \frac{b+a}{2}\right\}}\sum_{j=0}^{n}D_j\left(\omega \frac{b-a}{2}\right)f(x_j),</tex> где
::<tex>\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}=S_n^\omega(f)=\frac{b-a}{2}exp{\left\{\imath\omega \frac{b+a}{2}\right\}}\sum_{j=0}^{n}D_j\left(\omega \frac{b-a}{2}\right)f(x_j),</tex> где
-
<tex>D_j=\int_{-1}^{+1}{\left(\prod_{k\neq j}{\frac{\xi-d_k}{d_j-d_k}} \right)exp{\left\{\imath p\xi \right\}}d\xi}</tex>
+
<tex>D_j=\int_{-1}^{+1}{\left(\prod_{k\neq j}{\frac{\xi-d_k}{d_j-d_k}} \right)exp{\left\{\imath p\xi \right\}}d\xi}.</tex> <br />
-
 
+
Получилась квадратурная формула
 +
::<tex>\int_a^b{f(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}\approx S_n^\omega(f)</tex>
 +
с остаточным членом
 +
::<tex>R_n(f)=\int_a^b{(f(x)-L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}\approx S_n^\omega(f)</tex>
 +
Как и в общей формуле [[Ньютона-Котеса]] справедлива оценка
 +
::<tex>R_n(f)\leq\int_a^b{\left | (f(x)-L_n(x))\right | dx}\leq D(d_1,\ldots,d_n)\left(\max_{[a,b]}{ \left|{f^{(n)}(x)\right |}\right){\left(\frac{b-a}{2}\right)}^{n+1},</tex> где
 +
::<tex>D(d_1,\ldots,d_n)=\int_-1^+1{\frac{ \left | \omega_n^0p^0(t)\right | } {n!}dt},</tex>
 +
::<tex>\omega_n^0p^0(t)=(t-d_1)\ldots(t-d_n), ! p^0(t)=p\left(\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}t \right)</tex>
=== Частные случаи для некоторых значений параметров ===
=== Частные случаи для некоторых значений параметров ===
-
 
+
Обычно в программах вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций используются формулы {{eqref|1}} и {{eqref|2}}, соответствующие случаям: <tex>n=3,d_1=-1,d_2=0,d_3=1(\sl Формула Филона)</tex> или <tex>n=5,d_1=-1,d_2=-0.5,d_3=0d_4=0.5,d_5=1</tex>''(Формула Филона)''
 +
Рассчетные коэффициенты в формуле {{eqref|2}} для ''формулы Филона'':
 +
::<tex>D_1(z)=z^-3\left[2z\cos(z)-\sin(z)\left(2-p^2\right)+\imath \left(z^2\cos(z)-z sin(z) \right) \right]</tex>
 +
::<tex>D_2(z)=z^-3\left[4\sin(z)-4z*\cos(z)\right]</tex>
 +
::<tex>D_3(z)=z^-3\left[2z\cos(z)+sin(z) \left(z^2-2 \right )+\imath \left(z sin(z) - z^2 cos(p) \right) \right]</tex>
 +
== Список литературы ==
== Список литературы ==
* ''Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков.''&nbsp; Численные методы
* ''Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков.''&nbsp; Численные методы

Версия 21:25, 17 декабря 2008

Содержание

Введение

Постановка задачи

Пусть требуется вычислить интеграл

( 1 )

I=\int_a^b{f(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx},

где \omega(b-a)\gg 1, f(x) - гладкая на отрезке [a,b] функция.

Изложение метода

Общий случай

Будем рассматривать функцию \textstyle exp{\{\imath*\omega x\}} как весовую.

Подобно интегрированию без этого весового множителя, зададимся некоторыми d_1,\ldots,d_n \in [-1,1] и построим

интерполяционный многочлен ЛагранжаL_n(x) степени n-1, совпадающий с f(x) в точках x_j=\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}d_j, j=1,\ldots,n и заменим исходный интеграл на
( 2 )
\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}.
Последний интеграл vожет быть вычислен в явном виде
\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}=S_n^\omega(f)=\frac{b-a}{2}exp{\left\{\imath\omega \frac{b+a}{2}\right\}}\sum_{j=0}^{n}D_j\left(\omega \frac{b-a}{2}\right)f(x_j), где

D_j=\int_{-1}^{+1}{\left(\prod_{k\neq j}{\frac{\xi-d_k}{d_j-d_k}} \right)exp{\left\{\imath p\xi \right\}}d\xi}.
Получилась квадратурная формула

\int_a^b{f(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}\approx S_n^\omega(f)

с остаточным членом

R_n(f)=\int_a^b{(f(x)-L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}\approx S_n^\omega(f)

Как и в общей формуле Ньютона-Котеса справедлива оценка

R_n(f)\leq\int_a^b{\left | (f(x)-L_n(x))\right | dx}\leq D(d_1,\ldots,d_n)\left(\max_{[a,b]}{ \left|{f^{(n)}(x)\right |}\right){\left(\frac{b-a}{2}\right)}^{n+1}, где
D(d_1,\ldots,d_n)=\int_-1^+1{\frac{ \left | \omega_n^0p^0(t)\right | } {n!}dt},
\omega_n^0p^0(t)=(t-d_1)\ldots(t-d_n), ! p^0(t)=p\left(\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}t \right)

Частные случаи для некоторых значений параметров

Обычно в программах вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций используются формулы (1) и (2), соответствующие случаям: n=3,d_1=-1,d_2=0,d_3=1(\sl Формула Филона) или n=5,d_1=-1,d_2=-0.5,d_3=0d_4=0.5,d_5=1(Формула Филона) Рассчетные коэффициенты в формуле (2) для формулы Филона:

D_1(z)=z^-3\left[2z\cos(z)-\sin(z)\left(2-p^2\right)+\imath \left(z^2\cos(z)-z sin(z) \right) \right]
D_2(z)=z^-3\left[4\sin(z)-4z*\cos(z)\right]
D_3(z)=z^-3\left[2z\cos(z)+sin(z) \left(z^2-2 \right )+\imath \left(z sin(z) - z^2 cos(p) \right) \right]

Список литературы

  • Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков.  Численные методы

М.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:%D0%92%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BD_%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%B2/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»
Личные инструменты