Критерий Колмогорова-Смирнова

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Использование критерия для проверки нормальности)
(→Использование критерия для проверки нормальности)
Строка 22: Строка 22:
При помощи критерия Колмогорова-Смирнова определяется, описывает ли заданная функция наблюдаемое распределение <tex>X</tex>,
При помощи критерия Колмогорова-Смирнова определяется, описывает ли заданная функция наблюдаемое распределение <tex>X</tex>,
в то время как для проверки нормальности требуется выяснить, принадлежит ли функция распределения величины <tex>X</tex> параметрическому семейству функций.
в то время как для проверки нормальности требуется выяснить, принадлежит ли функция распределения величины <tex>X</tex> параметрическому семейству функций.
-
Ошибочный способ заключается в вычислении выборочного среднего и выборочной дисперсии и последующем применении критерия к нормализованной выборке
+
Возможный способ решения заключается в использовании выборочных оценок среднего и дисперсии.
-
::<tex>y_i=\frac{x_i-\bar{x}}{\sqr{\sigma_{\bar{x}}^2}}.</tex>
+
Однако в этом случае следует использовать модифицированное значение статистики
-
Достоверность полученных таким образом статистических данных может быть сильно искажена.
+
::<tex>D_n^*=D_n(\sqrt{n} - 0.01 + \frac{0.85}{\sqrt{n}})</tex>.
-
Правильнее было бы воспользоваться более подходящими для этой задачи критериями, к которым относится, например [[критерий Шапиро-Уилка]].
+
==Литература==
==Литература==

Версия 12:26, 11 января 2009

Критерий Колмогорова-Смирнова используется для проверки гипотезы H_0: "случайная величина X имеет распределение F(x)".

Содержание

Примеры задач

Критерий Колмогорова-Смирнова уместно применять в тех случаях, когда нужно проверить, подчиняется ли наблюдаемая случайная величина некоторому закону распределения, известному с точностью до параметров. Например, все исходы, выдаваемые рулеткой казино, должны быть равновероятны. Предположим, требуется выяснить, можно ли считать некоторую рулетку "честной". Для этого следует составить достаточно большую выборку из исходов этой рулетки. Чтобы установить, является ли выборка равномерно распределённой, можно воспользоваться критерием Колмогорова-Смирнова.

Описание критерия

Пусть X_n - выборка независимых одинаково распределённых случайных величин, F_n(x) - эмпирическая функция распределения, \Phi(x) - некоторая фиксированная "истинная" функция распределения. Тогда статистика критерия определяется следующим образом:

D_n=\sup_x |F_n(x)-\Phi(x)|.

Обозначим через H_0 гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению \Phi(X)\in \mathrm{C}^1(\mathbb{X}). Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

\forall t>0: \quad \lim_{n \to \infty}P(\sqrt{n} D_n \leq t)=K(t)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}(-1)^j \mathrm{e}^{-2j^2t^2}.

Гипотеза H_0 отвергается, если статистика \sqrt{n}D_n\! превышает квантиль распределения K_\alpha заданного уровня значимости \alpha, и принимается в противном случае.

Использование критерия для проверки нормальности

При помощи критерия Колмогорова-Смирнова определяется, описывает ли заданная функция наблюдаемое распределение X, в то время как для проверки нормальности требуется выяснить, принадлежит ли функция распределения величины X параметрическому семейству функций. Возможный способ решения заключается в использовании выборочных оценок среднего и дисперсии. Однако в этом случае следует использовать модифицированное значение статистики

D_n^*=D_n(\sqrt{n} - 0.01 + \frac{0.85}{\sqrt{n}}).

Литература

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
  2. Kolmogorov А. N. Confidence limits for an unknown distribution function // AMS. 1941. V. 12. P. 461-463.
  3. Смирнов Н. В. Оценка расхождения между эмпирическими кривыми распределений в двух независимых выборках // Бюллетень МГУ. Сер. А. Вып. 2. 1939. С. 13—14.

См. также

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%A1%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0»
Личные инструменты