Критерий Гехана

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Критерий Гехана - непараметрический статистический критерий, используемый для оценивания значимости различий в выживаемости двух групп.

Впервые был предложен Геханом в 1965г. как обобщение критерия Уилкоксона.

В 1967г. Мантел показал более простой способ вычисления критерия.

Примеры задач

Пример 1. В Японии проводилось сравнение выживаемости (с момента постановки диагноза) детей с онкологическими заболеваниями в период с 1975-79гг. с выживаемостью в период 1980-84гг. Требовалось определить, позволили ли новые методы лечения продлить жизнь детей.

Пример 2. Для оценки общего состояния пожилого человека предполагается использовать так называемую шкалу повседневной работы по дому. В исследование включаются люди примерно одного возраста и делятся на 2 группы: с высокой и низкой оценкой по шкале повседневной работы по дому. Требуется сравнить выживаемость в обеих группах.

Описание критерия

Заданы две выборки (группы объектов) $X^1 = (t_i^1,\; d_i^1,\; R_i^1)_{i=1}^{n_1}$ и $X^2 = (t_i^2,\; d_i^2,\; R_i^2)_{i=1}^{n_2}$ , где

$t_i^1$ и $t_i^2$ - моменты времени,

$d_i^1$ и $d_i^2$ - число объектов, для которых произошел исход (смерть) в момент времени $t_i$ ,

$R_i^1$ и $R_i^2$ - число объектов, доживших до момента времени $t_i$ , исключая выбывших.

Дополнительные предположения:

обе выборки независимы и случайны;
выбывание в обеих выборках одинаково.

Нулевая гипотеза $H_0$ состоит в том, что в обеих группах выживаемость одинакова, т.е. функции выживаемости равны: $S_1(t)=S_2(t)$ .

Статистика критерия:

Сначала каждый объект из 1-ой группы сравнивается с каждым объектом из 2-ой группы, результат сравнения $\gamma_{ij}$ равен:

$\gamma_{ij}=\left\{\;1,\;t_i>t_j,\\-1,\;t_i<t_j,\\ \;0.$

последнее возможно в том случае, если оба объекта выбыли, либо $i$ -ый объект выбыл до момента времени $t_j$ , либо $j$ -ый объект выбыл до момента врмени $t_i$ , либо $t_i=t_j.$

Результаты сравнения для каждого объекта суммируются:

$U = \sum\limits_{i=1}^{n_1}\sum\limits_{j=1}^{n_2}\gamma_{ij}.$

Вычисляется оценка дисперсии $V$ и статистика критерия $Z_V$ :

$V = \sqrt{\frac{n_1n_2}{(n_1+n_2)(n_1+n_2-1)}\sum\limits_{i=1}^{n_1}\left(\sum\limits_{j=1}^{n_2}\gamma_{ij}\right)^2},$

$Z_V = \frac{U}{V}.$

Статистика $Z_V$ приближенно имеет нормальное распределение $N(0,1)$ .

Замечание: существует и другой способ вычисления статистики:

$Z = \frac{U^2}{V^2}$

в этом случае $Z$ распределена приближенно по закону $\chi^2_1$ с одной степенью свободы.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

если $Z_V > \Phi_{\alpha}$ , где $\Phi_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль нормального распределения, то нулевая гипотеза $H_0$ о случайности различий в выживаемости отвергается.

Примечание:

Критерий Гехана не требует постоянства отношения смертности (т.е. чтобы выполнялось равенство $S_1(t)=\left[S_2(t)\right]^{\psi}$ ), но на его результаты сильно влияет число ранних смертей.