Вероятностное пространство

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 17:05, 2 ноября 2009

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Определение

Вероятностное пространство — это тройка $(\Omega,\mathcal{F},P)$ , где:

$\Omega$ — это множество объектов $\omega\in\Omega$ , называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество $\Omega$ необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный опыт» означает в точности указать один элементарный исход $\omega$ , который произошел в данной реализации опыта.

— это некоторая зафиксированная система подмножеств , которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие , то говорят, что в данной реализации событие произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий должна быть сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:
- Пустое множество $\emptyset$ должно быть событием, то есть принадлежать $\mathcal{F}$ . Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
- Все множество $\Omega$ также должно быть событием: $\Omega\in\mathcal{F}$ . Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
- Совокупность событий $\mathcal{F}$ должна образовывать алгебру, то есть быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если $A\in\mathcal{F}$ и $B\in\mathcal{F}$ , тогда должно быть $A\cup B\in\mathcal{F}$ , $A\cap B\in\mathcal{F}$ , $\overline{A}\in\mathcal{F}$ . Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
- В дополнение к указанным свойствам, система $\mathcal{F}$ должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если $\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ , тогда должно быть $\bigcup_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}$ и $\bigcap_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}$ .

— это числовая функция, которая определена на и ставит в соответствие каждому событию число , которое называется вероятностью события . Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать свойствами:
- $0\le P(B)\le 1$ для любого $B\in \mathcal{F}$
- $P(\emptyset)=0$ , $P(\Omega)=1$
- Если $A\in\mathcal{F}$ и $B\in\mathcal{F}$ — события, причем $A\cap B=\emptyset$ , тогда $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (свойство аддитивности).
- Если $\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ , причем Если $B_i\cap B_j=\emptyset$ для любых Если $i\ne j$ , тогда должно быть $P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)$ (свойство сигма-аддитивности).

Дискретные вероятностные пространства

Если множество элементарных исходов $\Omega$ конечно или счетно: $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots\}$ , то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества $\Omega$ . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу $\omega_i$ число $p_i\ge 0$ так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события $B$ определяется следующим образом:

$P(B)=\sum_{i:\omega_i\in B}p_i.$

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE»

Категория: Материалы по теории вероятностей

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А.Н. Колмогорова.
+Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова.
 Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей.
 Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально.
 Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.
-==Определение==
+== Определение ==
-''Вероятностное пространство'' - это тройка <tex>(\Omega,\mathcal{F},P)</tex>, где:
+''Вероятностное пространство'' — это тройка <tex>(\Omega,\mathcal{F},P)</tex>, где:
-*<tex>\Omega</tex> - это множество объектов <tex>\omega\in\Omega</tex>, называемых ''элементарными исходами эксперимента''. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество <tex>\Omega</tex> необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения "произвести случайный опыт" означает в точности указать один элементарный исход <tex>\omega</tex>, который произошел в данной реализации опыта.
+* <tex>\Omega</tex> — это множество объектов <tex>\omega\in\Omega</tex>, называемых ''элементарными исходами эксперимента''. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество <tex>\Omega</tex> необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный опыт» означает в точности указать один элементарный исход <tex>\omega</tex>, который произошел в данной реализации опыта.
-*<tex>\mathcal{F}</tex> - это некоторая зафиксированная система подмножеств <tex>B\subset\Omega</tex>, которые будут называться ''(случайными) событиями''. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие <tex>B</tex>, то говорят, что в данной реализации событие <tex>B</tex> ''произошло'', иначе говорят, что событие ''не произошло''. Совокупность событий <tex>\mathcal{F}</tex> должна быть сигма-алгеброй, т.е. удовлетворять следующим свойствам:
+* <tex>\mathcal{F}</tex> — это некоторая зафиксированная система подмножеств <tex>B\subset\Omega</tex>, которые будут называться ''(случайными) событиями''. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие <tex>B</tex>, то говорят, что в данной реализации событие <tex>B</tex> ''произошло'', иначе говорят, что событие ''не произошло''. Совокупность событий <tex>\mathcal{F}</tex> должна быть сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:
-**Пустое множество <tex>\emptyset</tex> должно быть событием, т.е. принадлежать <tex>\mathcal{F}</tex>. Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется ''невозможным'', поскольку оно никогда не происходит.
+** Пустое множество <tex>\emptyset</tex> должно быть событием, то есть принадлежать <tex>\mathcal{F}</tex>. Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется ''невозможным'', поскольку оно никогда не происходит.
-**Все множество <tex>\Omega</tex> также должно быть событием: <tex>\Omega\in\mathcal{F}</tex>. Это событие называется ''достоверным'', так как происходит при любой реализации случайного опыта.
+** Все множество <tex>\Omega</tex> также должно быть событием: <tex>\Omega\in\mathcal{F}</tex>. Это событие называется ''достоверным'', так как происходит при любой реализации случайного опыта.
-**Совокупность событий <tex>\mathcal{F}</tex> должна образовывать алгебру, т.е. быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если <tex>A\in\mathcal{F}</tex> и <tex>B\in\mathcal{F}</tex>, тогда должно быть <tex>A\cup B\in\mathcal{F}</tex>, <tex>A\cap B\in\mathcal{F}</tex>, <tex>\overline{A}\in\mathcal{F}</tex>. Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
+** Совокупность событий <tex>\mathcal{F}</tex> должна образовывать алгебру, то есть быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если <tex>A\in\mathcal{F}</tex> и <tex>B\in\mathcal{F}</tex>, тогда должно быть <tex>A\cup B\in\mathcal{F}</tex>, <tex>A\cap B\in\mathcal{F}</tex>, <tex>\overline{A}\in\mathcal{F}</tex>. Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
-**В дополнение к указанным свойствам, система <tex>\mathcal{F}</tex> должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если <tex>\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}</tex>, тогда должно быть <tex>\bigcup_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}</tex> и <tex>\bigcap_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}</tex>.
+** В дополнение к указанным свойствам, система <tex>\mathcal{F}</tex> должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если <tex>\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}</tex>, тогда должно быть <tex>\bigcup_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}</tex> и <tex>\bigcap_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}</tex>.
-*<tex>P</tex> - это числовая функция, которая определена на <tex>\mathcal{F}</tex> и ставит в соответствие каждому событию <tex>B\in\mathcal{F}</tex> число <tex>P(B)</tex>, которое называется ''вероятностью'' события <tex>B</tex>. Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, т.е. обладать свойствами:
+* <tex>P</tex> — это числовая функция, которая определена на <tex>\mathcal{F}</tex> и ставит в соответствие каждому событию <tex>B\in\mathcal{F}</tex> число <tex>P(B)</tex>, которое называется ''вероятностью'' события <tex>B</tex>. Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать свойствами:
-**<tex>0\le P(B)\le 1</tex> для любого <tex>B\in \mathcal{F}</tex>
+** <tex>0\le P(B)\le 1</tex> для любого <tex>B\in \mathcal{F}</tex>
-**<tex>P(\emptyset)=0</tex>, <tex>P(\Omega)=1</tex>
+** <tex>P(\emptyset)=0</tex>, <tex>P(\Omega)=1</tex>
-**Если <tex>A\in\mathcal{F}</tex> и <tex>B\in\mathcal{F}</tex> - события, причем <tex>A\cap B=\emptyset</tex>, тогда <tex>P(A\cup B)=P(A)+P(B)</tex> (свойство аддитивности).
+** Если <tex>A\in\mathcal{F}</tex> и <tex>B\in\mathcal{F}</tex> — события, причем <tex>A\cap B=\emptyset</tex>, тогда <tex>P(A\cup B)=P(A)+P(B)</tex> (свойство аддитивности).
-**Если <tex>\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}</tex>, причем Если <tex>B_i\cap B_j=\emptyset</tex> для любых Если <tex>i\ne j</tex>, тогда должно быть <tex>P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)</tex> (свойство сигма-аддитивности).
+** Если <tex>\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}</tex>, причем Если <tex>B_i\cap B_j=\emptyset</tex> для любых Если <tex>i\ne j</tex>, тогда должно быть <tex>P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)</tex> (свойство сигма-аддитивности).
-==Дискретные вероятностные пространства==
+== Дискретные вероятностные пространства ==
 Если множество элементарных исходов <tex>\Omega</tex> конечно или счетно: <tex>\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots\}</tex>, то соответствующее вероятностное пространство называется ''дискретным''. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества <tex>\Omega</tex>. В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу <tex>\omega_i</tex> число <tex>p_i\ge 0</tex> так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события <tex>B</tex> определяется следующим образом:

Вероятностное пространство

Материал из MachineLearning.

Версия 17:05, 2 ноября 2009

Определение

Дискретные вероятностные пространства

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты