Вероятностное пространство

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 08:07, 9 ноября 2009

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Содержание

1 Определение
2 Примеры наиболее часто использующихся вероятностных пространств
3 Литература

Определение

Вероятностное пространство — это тройка $(\Omega,\mathcal{F},P)$ , где:

$\Omega$ — это множество объектов $\omega\in\Omega$ , называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество $\Omega$ необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный опыт» означает в точности указать один элементарный исход $\omega$ , который произошел в данной реализации опыта.

— это некоторая зафиксированная система подмножеств , которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие , то говорят, что в данной реализации событие произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий должна быть сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:
- Пустое множество $\emptyset$ должно быть событием, то есть принадлежать $\mathcal{F}$ . Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
- Все множество $\Omega$ также должно быть событием: $\Omega\in\mathcal{F}$ . Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
- Совокупность событий $\mathcal{F}$ должна образовывать алгебру, то есть быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если $A\in\mathcal{F}$ и $B\in\mathcal{F}$ , тогда должно быть $A\cup B\in\mathcal{F}$ , $A\cap B\in\mathcal{F}$ , $\overline{A}\in\mathcal{F}$ . Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
- В дополнение к указанным свойствам, система $\mathcal{F}$ должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если $\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ , тогда должно быть $\bigcup_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}$ и $\bigcap_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}$ .

— это числовая функция, которая определена на и ставит в соответствие каждому событию число , которое называется вероятностью события . Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать свойствами:
- $0\le P(B)\le 1$ для любого $B\in \mathcal{F}$
- $P(\emptyset)=0$ , $P(\Omega)=1$
- Если $A\in\mathcal{F}$ и $B\in\mathcal{F}$ — события, причем $A\cap B=\emptyset$ , тогда $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (свойство аддитивности).
- Если $\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ , причем Если $B_i\cap B_j=\emptyset$ для любых Если $i\ne j$ , тогда должно быть $P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)$ (свойство сигма-аддитивности).

Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры:

Если $A_i\in B$ и $A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\cdots$ , тогда $P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)=\lim_{n\to\infty}P(A_n)$ .
Если $A_i\in B$ и $A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\cdots$ , тогда $P\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)=\lim_{n\to\infty}P(A_n)$ .
Если $A_i\in B$ , $A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\cdots$ и $\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\emptyset$ , тогда $\lim_{n\to\infty}P(A_n)=0$ .

Примеры наиболее часто использующихся вероятностных пространств

Дискретные вероятностные пространства

Если множество элементарных исходов $\Omega$ конечно или счетно: $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots\}$ , то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества $\Omega$ . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу $\omega_i$ число $p_i\ge 0$ так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события $B$ задается следующим образом:

$P(B)=\sum_{i:\omega_i\in B}p_i.$

Вероятностные пространства на прямой $\mathbb{R}$

Вероятностные пространства на прямой ( $\Omega=\mathbb{R}$ ) естественным образом возникают при изучении случайных величин. При этом в общем случае уже не получается рассматривать в качестве событий любые подмножества прямой, поскольку на таком широком классе обычно нельзя задать вероятностную меру, удовлетворяющую необходимым аксиомам. Универсальная сигма-алгебра событий, достаточная для работы - это сигма-алгебра борелевских множеств $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ : наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые множества. Эквивалентное определение - наименьшая сигма-алгебра, содержащая все интервалы $(a,b)$ . Универсальный способ задания вероятностной меры на данной сигма-алгебре - через функцию распределения случайной величины.

Вероятностные пространства в конечномерном пространстве $\mathbb{R}^n$

Вероятностные пространства с множеством элементарных исходов $\Omega=\mathbb{R}^n$ естественным образом возникают при изучении случайных векторов. Универсальной сигма-алгеброй событий при этом также является борелевская сигма-алгебра $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ , порожденная всеми открытыми множествами. Принципиально этот случай мало чем отличается от случая одной прямой.

Вероятностные пространства в пространстве $\mathbb{R}^T$ для произвольного множества индексов $T$

При изучении случайных процессов возникают более сложные вероятностные пространства с множеством элементарных исходов $\mathbb{R}^T$ , где индексы $T$ часто интерпретируются как "время". Чаще всего рассматривают случаи $T=\{0,1,2,\ldots\}$ (процессы с дискретным временем) или $T=(a,b)$ , $T=[0,\infty)$ (процессы с непрерывным временем).

Литература

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE»

Категория: Материалы по теории вероятностей

@@ Строка 19: / Строка 19: @@
 ** <tex>0\le P(B)\le 1</tex> для любого <tex>B\in \mathcal{F}</tex>
 ** <tex>P(\emptyset)=0</tex>, <tex>P(\Omega)=1</tex>
-** Если <tex>A\in\mathcal{F}</tex> и <tex>B\in\mathcal{F}</tex> — события, причем <tex>A\cap B=\emptyset</tex>, тогда <tex>P(A\cup B)=P(A)+P(B)</tex> (свойство аддитивности).
+** Если <tex>A\in\mathcal{F}</tex> и <tex>B\in\mathcal{F}</tex> — события, причем <tex>A\cap B=\emptyset</tex>, тогда <tex>P(A\cup B)=P(A)+P(B)</tex> ('''свойство аддитивности''').
-** Если <tex>\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}</tex>, причем Если <tex>B_i\cap B_j=\emptyset</tex> для любых Если <tex>i\ne j</tex>, тогда должно быть <tex>P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)</tex> (свойство сигма-аддитивности).
+** Если <tex>\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}</tex>, причем Если <tex>B_i\cap B_j=\emptyset</tex> для любых Если <tex>i\ne j</tex>, тогда должно быть <tex>P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)</tex> ('''свойство сигма-аддитивности''').
+Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств '''непрерывности меры''':
+* Если <tex>A_i\in B</tex> и <tex>A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\cdots</tex>, тогда <tex>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)=\lim_{n\to\infty}P(A_n)</tex>.
+* Если <tex>A_i\in B</tex> и <tex>A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\cdots</tex>, тогда <tex>P\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)=\lim_{n\to\infty}P(A_n)</tex>.
+* Если <tex>A_i\in B</tex>, <tex>A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\cdots</tex> и <tex>\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\emptyset</tex>, тогда <tex>\lim_{n\to\infty}P(A_n)=0</tex>.
 == Примеры наиболее часто использующихся вероятностных пространств ==

Вероятностное пространство

Материал из MachineLearning.

Версия 08:07, 9 ноября 2009

Содержание

Определение

Примеры наиболее часто использующихся вероятностных пространств

Дискретные вероятностные пространства

Вероятностные пространства на прямой $\mathbb{R}$

Вероятностные пространства в конечномерном пространстве $\mathbb{R}^n$

Вероятностные пространства в пространстве $\mathbb{R}^T$ для произвольного множества индексов $T$

Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты

Вероятностное пространство

Материал из MachineLearning.

Версия 08:07, 9 ноября 2009

Содержание

Определение

Примеры наиболее часто использующихся вероятностных пространств

Дискретные вероятностные пространства

Вероятностные пространства на прямой

Вероятностные пространства в конечномерном пространстве

Вероятностные пространства в пространстве для произвольного множества индексов

Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты

Вероятностные пространства на прямой $\mathbb{R}$

Вероятностные пространства в конечномерном пространстве $\mathbb{R}^n$

Вероятностные пространства в пространстве $\mathbb{R}^T$ для произвольного множества индексов $T$