Функция распределения

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Определение

Функция распределения случайной величины - это числовая функция, которая имеет вид:

, .

Обозначение используется для того, чтобы подчеркнуть, о какой случайной величине идет речь; если это ясно из контекста, то часто индекс опускают и обозначают функцию распределения просто

Свойства

Функция распределения определена на всей числовой оси и обладает следующими свойствами, вытекающими из свойств вероятностной меры:

1.

2. , .

3. Функция распределения является неубывающей: если , то

4. Функция распределения непрерывна слева: для любого .

Примечание. Последнее свойство обозначает, какие значения принимает функция распределения в точках разрыва. Иногда определение функции распределения формулируют с использованием нестрогого неравенства: . В этом случае непрерывность слева заменяется на непрерывность справа: при . Никакие содержательные свойства функции распределения при этом не меняются, поэтому данный вопрос является лишь терминологическим.

Свойства 1-4 являются характеристическими, т.е. любая функция , удовлетворяющая этим свойствам, является функцией распределения некоторой случайной величины.

Функция распределения задает распределение вероятностей случайной величины однозначно. Фактически, она является универсальным и наиболее наглядным способом описания этого распределения.

Чем сильнее функция распределения растет на заданном интервале числовой оси, тем выше вероятность попадания случайной величины в этот интервал. Если вероятность попадания в интервал равна нулю, то функция распределения на нем постоянна.

В частности, вероятность того, что случайная величина примет заданное значение , равна скачку функции распределения в данной точке:

.

Если функция распределения непрерывна в точке , то вероятность принять данное значение для случайной величины равна нулю. В частности, если функция распределения непрерывна на всей числовой оси (при этом и соответствующее распределение называется непрерывным), то вероятность принять любое заданное значение равна нулю.

Из определения функции распределения вытекает, что вероятность попадания случайной величины в интервал, замкнутый слева и открытый справа, равна:

С помощью данной формулы и указанного выше способа нахождения вероятности попадания в любую заданную точку, легко определяются вероятности попадания случайной величины в интервалы других типов: , и . Далее, по теореме о продолжении меры, можно однозначно продолжить меру на все борелевские множества числовой прямой . Для того, чтобы применить эту теорему, требуется показать, что таким образом определенная на интервалах мера является на них сигма-аддитивной; при доказательстве этого в точности используются свойства 1-4 (в частности, свойство непрерывности слева 4, поэтому отбросить его нельзя).

Генерация случайной величины, имеющей заданное распределение

Рассмотрим случайную величину , имеющую функцию распределения . Предположим, что непрерывна. Рассмотрим случайную величину

.

Легко показать, что тогда будет иметь равномерное распределение на отрезке .

Обратно, пусть случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , а - произвольная функция распределения (т.е. удовлетворяет свойствам 1-4). Тогда случайная величина

имеет функцию распределения . Это верно для любых функций распределения (не обязательно непрерывных), однако при этом обратная функция должна быть доопределена в точках разрыва следующим образом (в точках непрерывности это определение совпадает с обычным определением обратной функции):

.

Данное свойство дает универсальный способ генерации случайной величины, имеющей заданное распределение, с помощью величины, равномерно распределенной на отрезке . Именно поэтому при построении генераторов псевдослучайных чисел обычно ограничиваются именно этим распределением.

Литература

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.