Распределение хи-квадрат
Материал из MachineLearning.
(Различия между версиями)
(Новая: {{Вероятностное распределение| name =Распределение хи-квадрат| type =Плотность| pdf_image =[[Файл:chi-squa...) |
(категория) |
||
Строка 57: | Строка 57: | ||
: <tex>F = \frac{Y_1/n_1}{Y_2 / n_2}</tex> | : <tex>F = \frac{Y_1/n_1}{Y_2 / n_2}</tex> | ||
имеет [[распределение Фишера]] со степенями свободы <tex>\!(n_1,n_2)</tex>. | имеет [[распределение Фишера]] со степенями свободы <tex>\!(n_1,n_2)</tex>. | ||
+ | |||
+ | [[Категория:Вероятностные распределения]] |
Версия 15:06, 19 ноября 2009
Плотность вероятности 325px k - число степеней свободы | |
Функция распределения 325px k - число степеней свободы | |
Параметры | число степеней свободы |
Носитель | |
Плотность вероятности | |
Функция распределения | |
Математическое ожидание | |
Медиана | примерно |
Мода | если |
Дисперсия | |
Коэффициент асимметрии | |
Коэффициент эксцесса | |
Информационная энтропия |
|
Производящая функция моментов | , если |
Характеристическая функция |
Распределение (хи-квадрат) с n степенями свободы — это распределение суммы квадратов n независимых стандартных нормальных случайных величин.
Определение
Пусть — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: . Тогда случайная величина
имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы, обозначаемое .
Замечание. Распределение хи-квадрат является частным случаем Гамма распределения:
- .
Следовательно, плотность распределения хи-квадрат имеет вид
- ,
а его функция распределения
- ,
где и обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.
Свойства распределения хи-квадрат
- Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если независимы, и , а , то
- .
- Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если , то
- ,
- .
- В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины может быть приближено нормальным . Более точно
- по распределению при .
Связь с другими распределениями
- Если независимые нормальные случайные величины, то есть: , то случайная величина
имеет распределение хи-квадрат.
- Если , то распределение хи-квадрат совпадает с экспоненциальным распределением:
- .
- Если и , то случайная величина
имеет распределение Фишера со степенями свободы .