Участник:Василий Ломакин/Критерий Уилкоксона для связных выборок

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 7: Строка 7:
# Ссылка на что такое связки
# Ссылка на что такое связки
# Иллюстрации - критическая область, мощность и т.п.
# Иллюстрации - критическая область, мощность и т.п.
 +
# Вычисление рангов для связок
-
'''Критерий Уилкоксона для связных выборок''' (Wilcoxon signed-rank test) — [[непараметрический статистический критерий]], применяемый для проверки гипотезы о равенстве средних в двух '''зависимых''' выборках. Является аналогом [[Критерий_Стьюдента|t-критерия Стьюдента для парных наблюдений]] в случае закона распределения, отличного от нормального, либо для данных в нечисловой шкале.
+
'''Критерий Уилкоксона для связных выборок''' (Wilcoxon signed-rank test) — [[непараметрический статистический критерий]], применяемый для проверки гипотезы о равенстве средних в двух '''зависимых''' выборках. Является аналогом [[Критерий_Стьюдента|t-критерия Стьюдента для парных наблюдений]] в случае закона распределения, отличного от нормального, либо для данных в [[Теория измерений|качественной шкале]].
== Пример задачи ==
== Пример задачи ==
Строка 23: Строка 24:
'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \mathbb{P} \{x_i-y_i < 0 \} = 1/2</tex>.
'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \mathbb{P} \{x_i-y_i < 0 \} = 1/2</tex>.
-
'''Статистика критерия:'''
+
'''Вычисление статистики критерия:'''
# Рассчитать значения разностей пар двух выборок. Нулевые разности далее не учитываются. <tex>N</tex> - количество ненулевых разностей.
# Рассчитать значения разностей пар двух выборок. Нулевые разности далее не учитываются. <tex>N</tex> - количество ненулевых разностей.
# Проранжировать модули разностей пар в возрастающем порядке.
# Проранжировать модули разностей пар в возрастающем порядке.
Строка 38: Строка 39:
Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
-
:<tex>T = \frac{R - \frac{N(N+1)}{4}}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}</tex>;
+
:<tex>\tilde T = \frac{R - \frac{N(N+1)}{4}}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}</tex>;
-
<tex>T</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение при <tex>N \ge 20</tex>.
+
<tex>\tilde T</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Аппроксимация начинает хорошо работать при <tex>N \ge 20</tex>.
При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение под корнем в знаменателе необходимо заменить на следующее:
При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение под корнем в знаменателе необходимо заменить на следующее:

Версия 23:18, 11 декабря 2009

TODO:

  1. Пример
  2. Критерий для коротких выборок
  3. Свойства и границы применимости критерия
  4. Всё ли я извлёк из обоих книг?
  5. Дополнительные предположения
  6. Ссылка на что такое связки
  7. Иллюстрации - критическая область, мощность и т.п.
  8. Вычисление рангов для связок

Критерий Уилкоксона для связных выборок (Wilcoxon signed-rank test) — непараметрический статистический критерий, применяемый для проверки гипотезы о равенстве средних в двух зависимых выборках. Является аналогом t-критерия Стьюдента для парных наблюдений в случае закона распределения, отличного от нормального, либо для данных в качественной шкале.

Содержание

Пример задачи

Описание критерия

Заданы две выборки x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}.

Дополнительные предположения:

  • простые выборки ????
  • выборки связные, то есть элементы x_i,\: y_i соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).

Нулевая гипотеза H_0:\; \mathbb{P} \{x_i-y_i < 0 \} = 1/2.

Вычисление статистики критерия:

  1. Рассчитать значения разностей пар двух выборок. Нулевые разности далее не учитываются. N - количество ненулевых разностей.
  2. Проранжировать модули разностей пар в возрастающем порядке.
  3. Приписать рангам знаки соответствующих им разностей.
  4. Рассчитать сумму R положительных рангов.

Критерий (при уровне значимости \alpha):

Против альтернативы H_1:\; \mathbb{P} \{ x_i-y_i < 0 \} \neq 1/2:

если R больше табличного значения критерия знаковых рангов Уилкоксона T^{+} с уровнем значимости \alpha/2 и числом степеней свободы N, то нулевая гипотеза отвергается.

Асимптотический критерий:

Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:

\tilde T = \frac{R - \frac{N(N+1)}{4}}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}};

\tilde T асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Аппроксимация начинает хорошо работать при N \ge 20.

При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение под корнем в знаменателе необходимо заменить на следующее:

\frac{N(N+1)(2N+1) - \frac{\sum_{j=1}^{g}{t_j(t_j-1)(t_j+1)}}{2}}{24},
где g - количество связок, t_1, \ldots, t_g - их размеры.

Другие гипотезы:

H_0:\; средняя разница между значениями пар двух выборок равна заданной константе A.

H_1:\; средняя разница не равна A.

В этом случае из каждой разности вычитается значение A, и дальнейшая обработка выполняется по описанной схеме.

Свойства и границы применимости критерия

м?

История

Данный критерий назван именем Френка Уилкоксона (1892-1965). Статья, выпущенная им в 1945 году, содержала также описание аналогичного метода для случая независимых выборок.

Литература

  1. Лапач С. Н., Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 164-166 с.
  2. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 457-458 с.

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:%D0%92%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%9B%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D0%B8%D0%BD/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A3%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BA»
Личные инструменты