Алгоритм LOWESS

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Версия 11:00, 5 января 2010

Статья плохо доработана.

Имеются указания по её улучшению:

Алгоритм LOWESS (locally weighted scatter plot smoothing) - локально взвешенное сглаживание.

Содержание

1 Введение
- 1.1 Примеры
2 Технические детали алгоритма
3 Примеры применения
4 Литература
5 См. также

Введение

Рис. 1. Пример применения lowess-сглаживания

Данная методика была предложена Кливлендом(Cleveland) в 1979 году для моделирования и сглаживания двумерных данных $X^m={(x_i, y_i)}_{i=1}^m$ . Эта техника предоставляет общий и гибкий подход для приближения двумерных данных.

Локально-линейная модель loess(lowess) можеть быть записана в виде:

$y_t=\alpha_t+\beta_t x_t + \varepsilon_t.$

Эта модель может быть расширена на случай локально-квадратичной зависимости и на модель с бо‘льшим числом независимых переменных.

Параметры $\alpha_t$ и $\beta_t$ локально линейной модели оцениваются, с помощью локально взвешенной регрессии, которая присваивает объекту тем больший вес, чем более близок он близким к объекту $t$ .

Степень сглаживания определяется параметром сглаживания $f$ , который выбирает пользователь.

Параметр $f$ указывает какая доля(fraction) данных используется в процедуре. Если $f = 0.5$ , то только половина данных используется для оценки и влияет на результат, и тогда мы получим умеренное сглаживание. С другой стороны, если $f = 0.8$ , то используются восемьдесят процентов данных, и сглаживание намного сильнее. Во всех случаях веса данных тем больше чем они ближе к объекту $t$ .

Процедура оценки использует не метод наименьших квадратов, а более устойчивый(робастный) метод, который принимает меры против выбросов.

График приближенных значений

$y_t=\hat{\alpha_t}+\hat{\beta_t}x_t$

от $x_t$ полезен для принятия решения о характере связи между $y_t$ и $x_t$ . Для проверки качества приближения полученного с помощью процедуры устойчивого loess полезно посмотреть на график остатков обычной регресссии, то есть в осях (i) остатки от числа наблюдения (ii) остатки от прибли‘женных значений, (iii) остатки от значений независимой переменной. Как показал Кливленд, может быть предпочтительно использовать график в осях модули остатков от полученных приближенных значений вместо графика (ii) для устойчивого loess сглаживания, чтобы проверить наличие тренда или других систематических особенностей.

Когда $m > 100$ вычисления могут быть слишком долгими, в этом случае можно сократить количество вычислений оценивая $\hat{\alpha_t}$ и $\hat{\beta_t}$ только в точках отстоящих друг от друга как минимум на $\delta$ единиц, где параметр $\delta$ может задаваться либо приниматься по умолчанию. Рекомендуемые значения

$\delta=0,$ Если $m <= 100$

$\delta=0.03*IQR,$ Если $m > 100$ , где $IQR$ — [межквартильный размах](Interquartile range).

С такими параметрами вычисления будут выполнены для примерно 100 точек.

Примеры

Рис. 2. Задание параметра сглаживания $f$

На Рис. 2. Приведена иллюстрация уровня сглаживания в зависимости от значения параметра $f$

Сглаживание также может быть локально квадратичным, в этом случае модель для $y_t$ имеет вид

$y_t=\alpha_t+\beta_t x_t +\gamma x_t^2+ \varepsilon_t.$

Примеры сглаживания с квадратичным локальным приближением показаны на Рис. 3.

Рис. 3. Локально квадратичное сглаживание

Технические детали алгоритма

Базовое предположение состоит в следующем

$y_t=g(x_t)+\varepsilon_t , t=1,\ldots,m$

где $g(x)$ - функция глаживания, остатки $\varepsilon_t$ имеют нулевое математическое ожидание и фиксированную дисперсию. Затем сглаживание $g$ мы приближаем локально-линейной(локально квадратичной, в случае нелинейной модели) функцией, чтобы получить

$y_t=\alpha_t + \beta_t x_t + \varepsilon_t$ .

Для четкого определения агоритма поясним концепцию локальных весов $w(x_t)$ и робастных весов $\delta(x_t)$ .

Локальные веса

Рассмотрим один из широко распространенных примеров – функцию

$W(z)=(1-|z|^3)^3, \, \, |z|<=1 \\ W(z)=0, \,\, |z|>1$

Для заданного параметра $0 < f < 1$ пусть $r$ - ближайшее целое число к произведению $f*m$ . Пусть $h_t$ расстояние до $r$ -того ближайшего соседа объекта $x_t$ . Тогда локальный вес для любого объекта $x$ в окрестности $x_t$ есть

$w(x)=W\left(\frac{x-x_t}{h_t}\right)$ .

Замечание

Более общий подход к определению локальных весов состоит в выборе ширины окна $h$ , в общем случае $h=h(x_t)$ , то есть зависящей от объекта $x_t$ , и ядровой функции $K(x)=K\left(\frac{\rho(x,x_t)}{h(x_t)} \right )$ . Тогда локальные веса вычисляются по формулам

$w(x)=K \left( \frac{\rho(x,x_t)}{h(x_t)} \right ).$

В этом случае отпадает необходимость задания параметра сглаживания $f$ и его смысл эквивалентен выбору ширины окна $h=h(x_t)$ .

Робастные веса

Пусть

$X^m\setminus\{x_t\}$ – обучающая выборка за исключением элемента $x_i$ ,

$a_t:=a$ x_t;X^m\setminus\{x_t\} $$ – ответ алгоритма $a$ , обученного на выборке $X^m\setminus\{x_t\}$ при работе на объекте $x_t$ .

$\hat{\varepsilon_t}= \|a_t-y_t \|$ – ошибка алгоритма на объекте $x_i$ .

Пусть $s$ - есть медиана величин $\|\hat{\varepsilon_1}\|,\ldots,\|\hat{\varepsilon_m}\|$ . тогда $\delta_t = K(\frac{\varepsilon_t}{6s})$ , где

$K(z)=(1-|z|^2)^2, \, \, |z|<=1 \\ K(z)=0, \,\, |z|>1$

Замечание

Возможны и другие варианты выбора весов $\delta_t$ , например, занулить $k$ штук, соответствующих наибольшим $\|\hat{\varepsilon_t}\|$ .

Алгоритм LOWESS

Вход

$X^m$ - обучающая выборка;

$w_t, \,\,\, t=1,\ldots,m$ весовые функции;

Выход

Коэффициенты $\delta_t, \,\,\, t=1,\ldots,m$

Алгоритм

1: инициализация

$\delta_t:=t, \,\,\, i=1,\ldots,m$

2: повторять

3: вычислить оценки скользящего контроля на каждом объекте:

$a_t:=a$x_t;X^m\setminus\{x_t\} $$

4: вычислить новые значения коэффициентов $\delta_t$ :

$\varepsilon_t = \left | a_t -y_t \right |$

$\delta_t:=\bar{K}( \varepsilon_t ) ,\;t=1,\ldots,m$ ;

5: пока коэффициенты $\delta_t$ не стабилизируются

Коэффициенты $\delta_t$ , как и ошибки $\varepsilon_t$ , зависят от функции $a$ , которая, в свою очередь, зависит от $\delta_t$ . На каждой итерации строится функция $a$ , затем уточняются весовые множители $\delta_t$ . Как правило, этот процесс сходится довольно быстро. Однако в практических реализациях имеет смысл вводить ограничение на количество итераций, как правило это 2-3 итерации.

Выбор ядра $\bar{K}$

В качестве ядра $\bar{K}$ большинство практических источников рекомендуют использовать следующее:

Пусть $s$ - есть медиана коэффициентов $\gamma_1,\ldots,\gamma_m$ , тогда $\gamma_i = K(\frac{\varepsilon_i}{6s})$ , где

$K(z)=(1-|z|^2)^2, \, \, |z|<=1 \\ K(z)=0, \,\, |z|>1$

Более простой вариант, состоит в отбросе $t$ коэффициентов, соответствующих объектам с максимальными $\varepsilon_i$ . Это соотвествует ядру

$K(z)=[z<\varepsilon^{(m-t)}], \, \, \\ K(z)=0, \,\, |z|>=\varepsilon^{(m-t)},$

где $\varepsilon^{(m-t)}$ –- $(m-t)$ - тый член вариационного ряда $\varepsilon^{(1)}<=,\ldots,<=\varepsilon^{(m)}$

Примеры применения

Литература

Воронцов К.В. Лекции по алгоритмам восстановления регрессии. — 2007.

A.I. McLeod Statistics 259b Robust Loess: S lowess. — 2004.

John A Berger, Sampsa Hautaniemi, Anna-Kaarina Järvinen, Henrik Edgren, Sanjit K Mitra and Jaakko Astola Optimized LOWESS normalization parameter selection for DNA microarray data. — BMC Bioinformatics, 2004.

См. также

Непараметрическая регрессия
Регрессионный анализ
Local regression
Расин, Джеффри (2008) «Непараметрическая эконометрика: вводный курс», Квантиль, №4, стр. 7–56.

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Валентин Голодов

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 31 декабря 2009

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

→

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_LOWESS»

Категории: Регрессионный анализ | Непроверенные учебные задания

@@ Строка 80: / Строка 80: @@
 ==== Алгоритм ====
 :1: инициализация
-::<tex>\gamma_i:=1, i=1,\ldots,m</tex>
+::<tex>\delta_t:=t, \,\,\, i=1,\ldots,m</tex>
 :2: '''повторять'''
 :3:    вычислить оценки скользящего контроля на каждом объекте:
-::<tex>a_i:=a_h\( x_i;X^m\setminus\{x_i\} \)=\frac{\sum_{j=1,j\ne i}^m y_j\gamma_j w_j}{\sum_{j=1,j\ne i}^m \gamma_j w_j },\;i=1,\ldots,m</tex>
+::<tex>a_t:=a\(x_t;X^m\setminus\{x_t\} \)</tex>
-:4:    вычислить новые значения коэффициентов <tex>\gamma_i</tex>:
+:4:    вычислить новые значения коэффициентов <tex>\delta_t</tex>:
-::<tex>\varepsilon_i = \left | a_i -y_i \right |</tex>
+::<tex>\varepsilon_t = \left | a_t -y_t \right |</tex>
-::<tex>\gamma_i:=\bar{K}( \varepsilon_i ) ,\;i=1,\ldots,m</tex>;
+::<tex>\delta_t:=\bar{K}( \varepsilon_t ) ,\;t=1,\ldots,m</tex>;
-:5: '''пока''' коэффициенты <tex>\gamma_i</tex> не стабилизируются
+:5: '''пока''' коэффициенты <tex>\delta_t</tex> не стабилизируются
-Коэффициенты <tex>\gamma_i</tex>, как и ошибки <tex>\varepsilon_i</tex>, зависят от функции <tex>a_h</tex>, которая,
+Коэффициенты <tex>\delta_t</tex>, как и ошибки <tex>\varepsilon_t</tex>, зависят от функции <tex>a</tex>, которая,
-в свою очередь, зависит от <tex>\gamma_i</tex>. На каждой итерации строится функция <tex>a_h</tex>,
+в свою очередь, зависит от <tex>\delta_t</tex>. На каждой итерации строится функция <tex>a</tex>,
-затем уточняются весовые множители <tex>\gamma_i</tex>. Как правило, этот процесс сходится довольно быстро.
+затем уточняются весовые множители <tex>\delta_t</tex>. Как правило, этот процесс сходится довольно быстро.
-Он называется локально взвешенным сглаживанием (locally weighted scatter plot smoothing, LOWESS).
+Однако в практических реализациях имеет смысл вводить ограничение на количество итераций, как правило это 2-3 итерации.
 === Выбор ядра <tex>\bar{K} </tex>===

Алгоритм LOWESS

Материал из MachineLearning.

Версия 11:00, 5 января 2010

Содержание

Введение

Примеры

Технические детали алгоритма

Локальные веса

Замечание

Робастные веса

Замечание

Алгоритм LOWESS

Вход

Выход

Алгоритм

Выбор ядра $\bar{K}$

Примеры применения

Литература

См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты