Эмпирическое распределение
Материал из MachineLearning.
(→Асимптотические свойства эмпирической функции распределения) |
|||
| Строка 35: | Строка 35: | ||
1. По [[Закон больших чисел|усиленному закону больших чисел]] <tex>\hat{F}_m(x)</tex> сходится ''почти наверное'' к теоретической функции распределения <tex>F(x)</tex>: | 1. По [[Закон больших чисел|усиленному закону больших чисел]] <tex>\hat{F}_m(x)</tex> сходится ''почти наверное'' к теоретической функции распределения <tex>F(x)</tex>: | ||
| - | ::<tex>\hat{F}_m(x)\to | + | ::<tex>\hat{F}_m(x)\to F(x)</tex> ''почти наверное'' при <tex>m \rightarrow \infty.</tex> |
2. Выборочная функция распределения является ''асимптотически нормальной'' оценкой функции распределения <tex>F(x)</tex> при условии, что <tex>0< F(x)< 1,~ \forall x \in \mathbb{R}</tex>: | 2. Выборочная функция распределения является ''асимптотически нормальной'' оценкой функции распределения <tex>F(x)</tex> при условии, что <tex>0< F(x)< 1,~ \forall x \in \mathbb{R}</tex>: | ||
::<tex>\sqrt{n}\left(\hat{F}_m(x)-F(x)\right) \to^{P} N\left(0,F(x)(1-F(X))\right)</tex> при <tex>m \to \infty.</tex> | ::<tex>\sqrt{n}\left(\hat{F}_m(x)-F(x)\right) \to^{P} N\left(0,F(x)(1-F(X))\right)</tex> при <tex>m \to \infty.</tex> | ||
| - | |||
== Литература == | == Литература == | ||
Версия 13:05, 6 января 2010
Эмпирическая функция распределения (выборочная функция распределения) — естественное приближение теоретической функции распределения данной случайной величины, построенное по выборке.
Содержание |
Определения
Пусть задана случайная выборка наблюдений
Построим по выборке ступенчатую функцию
, возрастающую скачками величины
в точках
Построенная функция называется эмпирической функцией распределения.
Для задания значений в точках разрыва формально определим её так:
Замечание: при этом эмпирическая функция непрерывна справа.
На рисунке представлена функция стандартного нормального распределения и эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из 10 случайных наблюдений из стандартного нормального закона.
Свойства эмпирической функции распределения
Эмпирическое распределение для фиксированного 
Поскольку случайная величина имеет распределение Бернулли с вероятностью успеха
(где
- теоретическая
функция распределения случайной величины
), а последовательность
- схема Бернулли с вероятностью успеха
, то по отношению к этой последовательности
есть частота попаданий левее x.
Из сказанного вытекает, что эмпирическое распределение служит естественным приближением к теоретической функции распределения.
Математическое ожидание и дисперсия эмпирического распределения
Математическое ожидание эмпирической функции распределения
таким образом эмпирическое распределение является несмещённой оценкой теоретической функции распределения .
Дисперсия эмпирического распределения
Асимптотические свойства эмпирической функции распределения
1. По усиленному закону больших чисел сходится почти наверное к теоретической функции распределения
:
почти наверное при
2. Выборочная функция распределения является асимптотически нормальной оценкой функции распределения при условии, что
:
при
Литература
- Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика.. — М.: Бином. Лаборатория знаний., 2009. — 472 с.
- Крамер Г. Математические методы статистики.. — М.: Мир., 1975. — 648 с.
Ссылки
- Выборочеая функция распределения (Википедия)
