Участник:Anton/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 15:22, 6 января 2010

Критерии однородности - это критерии проверки гипотез о том, что две (или более) выборки взяты из одного распределения вероятностей. Рассмотрим такую классификацию критериев:

Непараметрические (свободные от распределения) критерии однородности не предполагают присутствие какой-либо фундаментальной информации о законе распределения. Любое распределение можно описать параметром положения, характеризующим центр группирования случайных величин, и параметром масштаба, характеризующим степень рассеяния случайных величин относительно центра группирования. Когда закон распределения неизвестен, гипотезы о параметрах проверяются при помощи специальных критериев сдвига и масштаба. Также существуют двухвыборочные критерии согласия.
1. Непараметрические критерии сдвига.
2. Непараметрические критерии масштаба.
3. Двухвыборочные критерии согласия.
Если же принимаются какие-либо дополнительные предположения о законе распределения вероятностей, то можно применять

параметрические критерии однородности.

Содержание

1 Непараметрические критерии однородности
2 Параметрические критерии однородности
3 Ссылки
4 Литература
5 См. также

Непараметрические критерии однородности

Непараметрические критерии сдвига

Проверяется гипотеза сдвига, согласно которой распределения двух выборок имеют одинаковую форму и отличаются только сдвигом на константу. Пусть заданы две выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}$ ,взятые из неизвестных непрерывных распределений $F(x)$ и $G(y)$ соответственно.

Нулевая гипотеза — $H_0: \quad F(x) = G(y - \mu)$

Наиболее частая альтернативная гипотеза' - $H_1: \quad F(x) \ne G(y - \mu)$ .

Существует большое количество критериев, проверяющих эту гипотезу:

Быстрый критерий Кенуя ^[1]

Ранговые критерии сдвига для двух выборок:

Ранговые критерии сдвига для нескольких (k>2) выборок:

Непараметрические критерии масштаба

Для двух выборок $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}$ . проверяется гипотеза о том, что они принадлежат одному и тому же распределению, но с разным параметром масштаба. Если плотность распределения первой выборки — $f(x)$ , а второй выборки — $\frac{1}{\tau}f( \frac{x}{\tau})$ , то нулевая гипотеза $H_0: \tau \ne 1$ .

Ранговые критерии масштаба для двух выборок:

Ранговые критерии масштаба нескольких (k>2) выборок:

Критерий Бхапкара-Дешпанде ^[36]

Двухвыборочные критерии согласия

Параметрические критерии однородности

Сравнение параметров нормальных распределений

Сравнение двух средних значений

Имеются две выборки независимых случайных величин $x_1, x_2, \dots, x_n; \qquad y_1, y_2, \dots, y_n.$ Необходимо на основе выборочных данных установить наличие значимой разницы в средних двух совокупностей, из которых извлечены выборки.

Нулевая гипотеза: $H_0: \mu_1 = \mu_2$ .

Альтернативы: $H_1: \mu_1 \neq \mu_2; \qquad H_1': \mu_1 > \mu_2; \qquad H_1'': \mu_1 < \mu_2.$

Сравнение при известных дисперсиях осуществляется при помощи критерия Стьюдента.
Сравнение при неизвестных равных дисперсиях осуществляется при помощи критерия Стьюдента.
Сравнение при неизвестных неравных дисперсиях осуществляется при помощи модификаций критерия Стьюдента: критерий Кохрена-Кокса, Критерий Сатервайта, критерий Уэлча.
Сравнение двух выборочных средних в связанных выборках осуществляется при помощи критерия Стьюдента.
Критерий Уолша ^[40] позволяет проверять гипотезу о принадлежности одного наблюдения нормальному распределению, генерирующему выборку.
Двухступентчатый двухвыборочный медианный критерий Волфа ^[41]
Критерий Фишера для сравнения двух средних с одинаковыми дисперсиями. ^[42] Эквивалентен критерию Стьюдента и основан на связи между распределениями Стьюдента и Фишера.

Сравнение нескольких средних значений

Имеются k выборок из нормально распределенной совокупности $x_{11},\dots,x_{1n_1}, \dots, x_{k1},\dots,x_{kn_k}.$

Нулевая гипотеза $H_0: \quad \mu_1=\dots=\mu_k$

Альтернатива $H_1: \quad |\mu_{i+1} - \mu_0 | > 0 \qquad (i=1,\dots,k).$

Модифицированный критерий Стьюдента ^[43] позволяет решать задачу в случае равных объемов выборок.
Критерий "стьюдентизированного" размаха ^[44]
Дисперсионный критерий ^[45]
Критерий Полсона ^[46]

решает задачу отделения выборки с наибольшим средним значением от всех остальных.

Сравнение двух дисперсий

Для двух нормально распределенных случайных величин $x_1, \dots, x_n; \qquad y_1, \dots, y_m$ необходимо проверить гипотезу равенства дисперсий, опираясь на их выборочные оценки.

Сравнение нескольких дисперсий

Пусть $\sigma_1^2, \dots, \sigma_k^2$ - дисперсии выборок объема

Сравнение параметров экспоненциальных распределений

Сравнение параметров биномиальных распределений

Ссылки

↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 452
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 453
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 454
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 459
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 460
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 462
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 464
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 465
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 466
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 475
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 475
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 479
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c.481
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c.482
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 471
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 473
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 473
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 477
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 469
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 484
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 476
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 486
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 487
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 489
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 490
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 492
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 495
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 496
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 499
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 502
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 504
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 505
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 507
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 509
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 511
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 514
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 227
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 228
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 229
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 394
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 395
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 396
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 397
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 399
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 399
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 402
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 403
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 405
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 406
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 407
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 408
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 408
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 413
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 414
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 415
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006, c. 415

Литература

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003.

См. также

Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
Статистика (функция выборки)
Критерии согласия

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Anton

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 8 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Anton/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

Категория: Непроверенные учебные задания

@@ Строка 82: / Строка 82: @@
 Необходимо на основе выборочных данных установить наличие значимой разницы в средних двух совокупностей, из которых извлечены выборки.
-'''Нулевая гипотеза:''' <tex> H_0: \mu_1 = \mu_2 </tex>
+'''Нулевая гипотеза:''' <tex> H_0: \mu_1 = \mu_2 </tex>.
+'''Альтернативы:''' <tex>H_1: \mu_1 \neq \mu_2; \qquad H_1':  \mu_1 > \mu_2; \qquad H_1'':  \mu_1 < \mu_2.</tex>
+*''Сравнение при известных дисперсиях'' осуществляется при помощи [[Критерий Стьюдента| критерия Стьюдента]].
+*''Сравнение при неизвестных равных дисперсиях'' осуществляется при помощи [[Критерий Стьюдента| критерия Стьюдента]].
+*''Сравнение при неизвестных неравных дисперсиях'' осуществляется при помощи модификаций [[Критерий Стьюдента| критерия Стьюдента]]: ''критерий Кохрена-Кокса'', ''Критерий Сатервайта'', ''критерий Уэлча''.
+*''Сравнение двух выборочных средних в связанных выборках'' осуществляется при помощи [[Критерий Стьюдента| критерия Стьюдента]].
+*[[Критерий Уолша]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 394 </ref> позволяет проверять гипотезу о принадлежности одного наблюдения нормальному распределению, генерирующему выборку.
+*[[Критерий Волфа| Двухступентчатый двухвыборочный медианный критерий Волфа]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 395 </ref>
+*[[Критерий Фишера]] для сравнения двух средних с одинаковыми дисперсиями. <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 396 </ref>  Эквивалентен [[Критерий Стьюдента|критерию Стьюдента]] и основан на связи между распределениями Стьюдента и Фишера.
+=== Сравнение нескольких средних значений ===
+Имеются k выборок из нормально распределенной совокупности <tex>x_{11},\dots,x_{1n_1}, \dots, x_{k1},\dots,x_{kn_k}. </tex>
+'''Нулевая гипотеза''' <tex>H_0: \quad \mu_1=\dots=\mu_k</tex>
+'''Альтернатива''' <tex>H_1: \quad |\mu_{i+1} - \mu_0 | > 0 \qquad (i=1,\dots,k).</tex>
+* Модифицированный [[Критерий Стьюдента|критерий Стьюдента]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 397 </ref> позволяет решать задачу в случае равных объемов выборок.
+* [[Критерий "стьюдентизированного" размаха]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 399 </ref>
+* [[Дисперсионный критерий]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 399 </ref>
+* [[Критерий Полсона]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 402 </ref>
+решает задачу отделения выборки с наибольшим средним значением от всех остальных.
+* [[Критерий Тьюки|Критерий Тьюки (метод прямого сравнения)]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 403 </ref>
+* [[Критерий Тьюки|Критерий "стьюдентизированного" максимума (обобщенный критерий Тьюки)]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 405 </ref>
+* [[Критерий Шеффе]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 406 </ref>
+* [[Критерий Стьюдента-Ньюмена-Кейлса]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 407 </ref>
+* [[Критерий Дункана]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 408 </ref>
+* [[Критерий Линка-Уоллеса]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 408 </ref>
+=== Сравнение двух дисперсий ===
+Для двух нормально распределенных случайных величин <tex>x_1, \dots, x_n; \qquad y_1, \dots, y_m</tex> необходимо проверить гипотезу равенства дисперсий, опираясь на их выборочные оценки.
+*[[Критерий Фишера]]
+*[[Критерий Романовского]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 413 </ref>
+*[[Критерий отношения размахов]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 414 </ref>
+*[[Критерий "стьюдентизированного" размаха]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 415 </ref>
+*[[Критерий Аризоно-Охты]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 415 </ref>
+=== Сравнение нескольких дисперсий ===
+Пусть <tex> \sigma_1^2, \dots, \sigma_k^2 </tex> - дисперсии выборок объема
-'''Альтернативы:''' <tex>H_1: \mu_1 \neq \mu_2; \qquad H_1':  \mu_1 > \mu_2; \qquad H_1'':  \mu_1 < \mu_2; \qquad</tex>
 == Сравнение параметров экспоненциальных распределений ==
 == Сравнение параметров биномиальных распределений ==