Распределение Стьюдента
Материал из MachineLearning.
м |
|||
Строка 60: | Строка 60: | ||
== Применение распределения Стьюдента == | == Применение распределения Стьюдента == | ||
- | Распределение Стьюдента используется в [[Статистика|статистике]] для [[Точечная оценка|точечного оценивания]], построения [[Доверительный интервал|доверительных интервалов]] и [[Статистическая гипотеза|тестирования гипотез]], касающихся неизвестного [[Математическое ожидание|среднего]] статистической [[Выборка|выборки]] из нормального распределения. В частности, пусть <tex>X_1,\ldots, X_n</tex> независимые случайные величины, такие что <tex>X_i \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2),\; i=1,\ldots, n</tex>. Обозначим <tex>\bar{X}</tex> [[выборочное среднее]] этой выборки, а <tex>S^2</tex> её [[ | + | Распределение Стьюдента используется в [[Статистика|статистике]] для [[Точечная оценка|точечного оценивания]], построения [[Доверительный интервал|доверительных интервалов]] и [[Статистическая гипотеза|тестирования гипотез]], касающихся неизвестного [[Математическое ожидание|среднего]] статистической [[Выборка|выборки]] из нормального распределения. В частности, пусть <tex>X_1,\ldots, X_n</tex> независимые случайные величины, такие что <tex>X_i \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2),\; i=1,\ldots, n</tex>. Обозначим <tex>\bar{X}</tex> [[выборочное среднее]] этой выборки, а <tex>S^2</tex> выборочную оценку её [[Дисперсия случайной величины|дисперсии]]. Тогда |
: <tex>\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim \mathrm{t}(n-1)</tex>. | : <tex>\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim \mathrm{t}(n-1)</tex>. | ||
Версия 05:49, 22 июля 2010
Плотность вероятности | |
Функция распределения | |
Параметры | - число степеней свободы |
Носитель | |
Плотность вероятности | |
Функция распределения | где - гипергеометрическая функция |
Математическое ожидание | |
Медиана | |
Мода | |
Дисперсия | если |
Коэффициент асимметрии | если |
Коэффициент эксцесса | где |
Информационная энтропия |
|
Производящая функция моментов | не определена |
Характеристическая функция |
Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.
Содержание |
Определение
Пусть — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что . Тогда распределение случайной величины , где
называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Пишут . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность
- ,
где — гамма-функция Эйлера.
Свойства распределения Стьюдента
- Распределение Стьюдента симметрично. В частности если , то
- .
Моменты
Случайная величина имеет только моменты порядков , причём
- , если нечётно;
- , если чётно.
В частности,
- ,
- , если .
Моменты порядков не определены.
Связь с другими распределениями
- Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:
- .
- Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при . Пусть дана последовательность случайных величин , где . Тогда
- по распределению при .
- Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть . Тогда
- .
Применение распределения Стьюдента
Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть независимые случайные величины, такие что . Обозначим выборочное среднее этой выборки, а выборочную оценку её дисперсии. Тогда
- .
Данная статья является непроверенным учебным заданием.
До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}. См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе. |