Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)

Материал из MachineLearning.

Версия 20:57, 24 апреля 2008

Курс знакомит студентов с основными задачами и методами прикладной статистики.

Цели курса — связать теорию и практику, научить студентов «видеть» статистические задачи в различных предметных областях и правильно применять методы прикладной статистики, показать на практических примерах возможности и ограничения статистических методов. Курс имеет скорее методологическую, чем математическую направленность и не содержит доказательств теорем.

Каждый метод описывается по единой схеме:

• постановка задачи,
• примеры прикладных задач из области экономики, социологии, производства, медицины,
• базовые предположения и границы применимости,
• описание метода (для методов проверки статистических гипотез: нулевая гипотеза и альтернативы, статистика, её функция распределения с эскизом графика, критическая область),
• достоинства и недостатки,
• сравнение с другими методами.

Курс читается студентам 5 курса кафедры «Математические методы прогнозирования» ВМиК МГУ, начиная с 2007 года. Предполагается, что студенты уже прослушали курсы теории вероятностей и математической статистики, знакомы с элементами дискриминантного, факторного и кластерного анализа (по кафедральному курсу «Математические методы распознавания образов»), регрессионного анализа и анализа временных рядов (по кафедральному курсу ММП).

Программа курса

Введение

Обзор необходимых сведений из теории вероятностей и математической статистики. Понятия простой выборки и статистики. Примеры статистик: моменты, асимметрия и эксцесс, вариационный ряд, эмпирическое распределение. Проверка статистических гипотез, понятия критической области, критической функции, ошибок I и II рода. Односторонние и двусторонние критерии. Свойства критериев: несмещённость, состоятельность, равномерная мощность. Статистические точечные оценки и их свойства: несмещённость, состоятельность, эффективность, достаточность, робастность. Интервальные оценки, понятия доверительного интервала и коэффициента доверия. Доверительное оценивание по вариационному ряду. Доверительные интервалы для среднего и медианы [Лапач, 104]. Метод доверительных интервалов Неймана. Понятия параметрических, непараметрических и робастных методов. Структура прикладной статистики.

Параметрическая проверка гипотез

Проверка гипотез о положении и рассеивании (нормальные параметрические критерии) [Лапач, § 3.2]. Примеры прикладных задач из областей медицины, агрономии, маркетинга. Систематизация критериев. Проверка гипотезы равенства средних: критерий Стьюдента для одной и двух выборок, связанные выборки, метод множественных сравнений Шеффе, метод LSD. Пример: задача формирования ценовых коридоров. Проверка равенства дисперсий: критерии Фишера, Кохрена, Бартлета. Проверка нормальности: критерии Колмогорова-Смирнова, омега-квадрат фон Мизеса, хи-квадрат Пирсона. Исторический пример: проверка закона Менделя А.Н.Колмогоровым [Тюрин, 306]. Упрощённые проверки по асимметрии и эксцессу. Эмпирические подтверждения ненормальности реальных измерений [Орлов, стр. 71–77].

Непараметрическая проверка гипотез

Проверка гипотез о положении и рассеивании (непараметрические ранговые критерии) [Лапач, § 3.3]. Элементы теории измерений: номинальные, порядковые и количественные переменные; инварианты. Разновидности средних: по Коши, по Колмогорову, мода, медиана. Среднее в порядковой шкале [Орлов, гл. 3]. Пример: маркетинговое исследование привлекательности продуктов (образовательных услуг); важность постановки вопросов при формировании анкет [Орлов, 229]. Вариационный ряд, ранги и связки. Ранговые критерии: Уилкоксона-Манна-Уитни, знаков, Уилкоксона двухвыборочный, Уилкоксона для связных выборок, Краскела-Уоллиса, Зигеля-Тьюки, медианный одновыборочный и двухвыборочный. Доверительные интервалы для медианы (Уилкоксона-Мозеса) и сдвига (Уилкоксона-Тьюки). Множественные сравнения на основе рангов Фридмана.

Дисперсионный анализ (ANOVA)

[Лапач, 193, Кулаичев, 170]. Модели факторного эксперимента. Примеры: факторы, влияющие на успешность решения математических задач; факторы, влияющие на объёмы продаж. Однофакторная параметрическая модель: метод Шеффе. Однофакторная непараметрическая модель: критерии Краскела-Уоллиса, Джонкхиера. Общий случай модели с постоянными факторами, теорема Кокрена. Двухфакторная непараметрическая модель: критерии Фридмана [Лапач, 203], Пейджа. Примеры: сравнение эффективности методов производства, агротехнических приёмов. Двухфакторный нормальный анализ. Задача ковариационного анализа.

Корреляционный анализ

[Лапач, 174]. Корреляция Пирсона, значимость коэффициента корреляции (критерий Стьюдента). Частная корреляция. Ранговая корреляция, коэффициенты корреляции Спирмена, Кенделла. Конкордация Кенделла.

Анализ таблиц сопряженности (кросстабуляции)

[Лапач, 204, 316, Лагутин, Т2:174, Кулаичев, 162]. Критерий согласия Пирсона: простая гипотеза, сложная гипотеза. Таблица сопряженности: K×L и 2×2. Парадокс хи-квадрат [Лагутин, Т2:84]. Точный тест Фишера. Понятие закономерности в алгоритмах классификации, статистические и логические закономерности. Примеры: посещаемость сайтов пользователями Интернет, анализ результатов голосования, маркетинговые исследования.

Анализ рисков. Пробит- и логит-анализ

[Лапач, 387]. Приложения в токсикологии, страховании, эконометрике (оценивание спроса). Оценивание апостериорных вероятностей в задачах классификации. Анализ кредитных рисков: оценивание вероятности дефолта, имитационное моделирование. Анализ выживаемости. Функция выживаемости и функция интенсивности рисков. Процедура Каплана-Мейера. Доверительный интервал выживаемости. Сравнение двух функций выживаемости: логранговый критерий, критерий Гехана. Случайные блуждания, задача о разорении игрока.

Выборочный анализ

Простой случайный выбор. Приложения в социологии, выборочном контроле качества, маркетинге [Лапач, 312, Орлов]. Пропорциональный выбор и преимущества стратификации. Оценки достаточной длины выборки [Лапач, 361]. Другие методы выбора: квотированный, кластерный, многоступенчатый кластерный. Выборочный контроль качества [Лапач, 351]. Одноступенчатый и двухступенчатый план контроля. Оперативная характеристика плана контроля. Парадоксы выборочного контроля.

Регрессионный анализ

Многомерная линейная регрессия. Метод наименьших квадратов. Гипотеза нормальности и ее нарушение. Гетероскедастичность. Обобщённый метод наименьших квадратов [Вучков, Айвазян, том 2]. Факторный анализ [Айвазян, том 1, 526, 551]: метод главных компонент, геометрическая интерпретация, выбор числа значимых факторов [Кулаичев, 315]. Устойчивость регрессионных моделей. Мультиколлинеарность. Ридж-регрессия. Лассо Тибширани. Отбор признаков и шаговая регрессия [Friedman]. Проблема выбросов и робастная регрессия. M-оценки, метод наименьших модулей. L-оценки, винзоризация выборки [Вучков].

Оценивание регрессионных моделей

Проверка адекватности модели: по выборочному коэффициенту детерминации, по дисперсии остатков, путём сравнения вложенных моделей. Анализ остатков. U-критерий Уилкоксона-Манна-Уитни, Зигеля-Тьюки, Вальда-Вольфовица. Пример прикладной задачи: анализ деятельности паевых инвестиционных фондов. Введение нелинейности в модель регрессии. Регуляризация коэффициентов регрессии, медленно изменяющихся во времени. Непараметрическая регрессия: ядерное сглаживание, формула Надарая-Ватсона. Выбор ядра и ширины окна. Совмещение многомерной линейной регрессии и одномерного сглаживания: метод настройки с возвращениями (backfitting). Проверка гипотезы о значимости (не равенства нулю) коэффициентов линейной регрессии. Доверительные интервалы для коэффициентов и отклика.

Анализ временных рядов

Понятие временного ряда. Стационарность и эргодичность. Основные компоненты временного ряда: тренд, сезонность и циклические колебания, шумы, календарные эффекты. Структурные модели временного ряда [Айвазян, том 2, Лукашин]. Прогнозирование временных рядов. Простейшие адаптивные методы прогнозирования. Экспоненциальное сглаживание, модели Брауна, Хольта-Уинтерса и Тейла-Вейджа. Процессы авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (ARIMA) [Лукашин].

Построение интегральных индикаторов

Понятие интегрального индикатора. Примеры прикладных задач. Линейные и ранговые шкалы. Методы построения интегрального индикатора «без учителя» [Strijov, 2003]. Устойчивые интегральные индикаторы [Стрижов, 2007]. Экспертные оценки [Литвак, Лапач, 353]. Матрица парных сравнений. Экспертно-статистический метод [Айвазян, том 2]. Согласование экспертных оценок [Стрижов, 2006].

Панельные исследования

Литература

1. Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002.
2. Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003.
3. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003.
4. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
5. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика. Том 1. Теория вероятностей и прикладная статистика. — М.: Юнити, 2001.
6. Айвазян С. А. Прикладная статистика. Том 2. Основы эконометрики. — М.: Юнити, 2001.
7. Кулаичев А. П. Методы и средства комплексного анализа данных. — М.: Форум–Инфра-М, 2006.
8. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Анализ данных на компьютере. — М.: Инфра-М, 2003.
9. Вучков И., Бояджиева А., Солаков Е. Прикладной линейный регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1987.
10. Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003.
11. Friedman R., Hastie T., Tibshirani J. The elements of statistical learning. – Springer, 2001.
12. Strijov, V., Shakin, V. Index construction: the expert-statistical method. // Environmental research, engineering and management 2003. No.4 (26), P.51-55.
13. Стрижов В. В., Казакова Т. В. Устойчивые интегральные индикаторы с выбором опорного множества описаний. // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2007 (7). C. 72-76.
14. Литвак Б. Г. Экспертная информация: Методы получения и анализа. – М.: Радио и связь, 1982. – 184 с.
15. Стрижов В. В. Уточнение экспертных оценок с помощью измеряемых данных. // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2006 (7). С.59-64.