Прогнозирование функциями дискретного аргумента (пример)
Материал из MachineLearning.
| Строка 19: | Строка 19: | ||
Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется по рекуррентной формуле: | Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется по рекуррентной формуле: | ||
| - | <tex> | + | <center><tex> |
S_t=\alpha x_t + \left( 1-\alpha \right) S_{t-1},\ \alpha \in (0,1). | S_t=\alpha x_t + \left( 1-\alpha \right) S_{t-1},\ \alpha \in (0,1). | ||
| - | </tex> | + | </tex></center> |
Чем меньше <tex>\alpha</tex>, тем в большей степени фильтруются, подавляются колебания исходного ряда и шума. | Чем меньше <tex>\alpha</tex>, тем в большей степени фильтруются, подавляются колебания исходного ряда и шума. | ||
| Строка 27: | Строка 27: | ||
Если последовательно использовать рекуррентное это соотношение, то экспоненциальную среднюю <tex>S_t</tex> можно выразить через значения временного ряда <tex>X</tex>. | Если последовательно использовать рекуррентное это соотношение, то экспоненциальную среднюю <tex>S_t</tex> можно выразить через значения временного ряда <tex>X</tex>. | ||
| - | <tex> | + | <center><tex> |
S_t =\alpha x_t + (1-\alpha)\left( \alpha x_{t-1} + (1-\alpha)S_{t-2}\right)= \cdot\cdot\cdot = \alpha \sum_{i=0}^{t-1} (1-\alpha)^i x_{t-i} + (1-\alpha)^t S_0. | S_t =\alpha x_t + (1-\alpha)\left( \alpha x_{t-1} + (1-\alpha)S_{t-2}\right)= \cdot\cdot\cdot = \alpha \sum_{i=0}^{t-1} (1-\alpha)^i x_{t-i} + (1-\alpha)^t S_0. | ||
| - | </tex> | + | </tex></center> |
После появления работ Р. Брауна экспоненциальное сглаживание часто используется для решения задачи краткосрочного прогнозирования временных рядов следующим способом. | После появления работ Р. Брауна экспоненциальное сглаживание часто используется для решения задачи краткосрочного прогнозирования временных рядов следующим способом. | ||
| Строка 49: | Строка 49: | ||
При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее отразить новые изменения и в то же время как можно лучше "очистить" ряд от случайных колебаний. | При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее отразить новые изменения и в то же время как можно лучше "очистить" ряд от случайных колебаний. | ||
Т.о. следует увеличивать вес более свежих наблюдений: | Т.о. следует увеличивать вес более свежих наблюдений: | ||
| - | <tex> | + | <center><tex> |
\alpha \rightarrow 1,\; \hat{y}_{t+d} \rightarrow y_t | \alpha \rightarrow 1,\; \hat{y}_{t+d} \rightarrow y_t | ||
| - | </tex>. | + | </tex></center>. |
С другой стороны, для сглаживания случайных отклонений, <tex>\alpha</tex> нужно уменьшить: <tex> \alpha \rightarrow 0,\; \hat{y}_{t+1} \rightarrow \bar{y}_t</tex>. | С другой стороны, для сглаживания случайных отклонений, <tex>\alpha</tex> нужно уменьшить: <tex> \alpha \rightarrow 0,\; \hat{y}_{t+1} \rightarrow \bar{y}_t</tex>. | ||
Т.о. эти два требования находятся в противоречии. Мы будем брать <tex>\alpha</tex> из интервала (0,0.5). | Т.о. эти два требования находятся в противоречии. Мы будем брать <tex>\alpha</tex> из интервала (0,0.5). | ||
Версия 16:52, 3 сентября 2011
|
Введение
В статье представлена попытка прогнозирования таких специфических временных рядов, как монофонические мелодии. Были осуществлены три различных подхода: экспоненциальное сглаживание, локальное прогнозирование и поиск постоянных закономерностей.
Предлагается опробовать первый метод в традиционной его форме, чтобы ответить на вопрос, пригоден ли он для решения данной задачи. Затем предлагается во втором методе проверить работоспособность коэффициента корреляции Пирсона в качестве меры сходства. Третий будет использоваться в упрощенном варианте.
Постановка задачи
Мелодия есть функция , где
— позиция ноты,
— конечное множество нот, занумерованных в порядке увеличения тона,
— длительность ноты, в секундах. Таким образом, будем работать с пучком из двух временных рядов.
Предполагается, что мелодия дана законченная, но без нескольких финальных нот(в данной статье одной). Необходимо их предсказать.
Пути решения задачи
Экспоненциальное сглаживание
Пусть — временной ряд.
Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется по рекуррентной формуле:
Чем меньше , тем в большей степени фильтруются, подавляются колебания исходного ряда и шума.
Если последовательно использовать рекуррентное это соотношение, то экспоненциальную среднюю можно выразить через значения временного ряда
.
После появления работ Р. Брауна экспоненциальное сглаживание часто используется для решения задачи краткосрочного прогнозирования временных рядов следующим способом.
Пусть задан временной ряд: .
Необходимо решить задачу прогнозирования временного ряда, т.е. найти
— горизонт прогнозирования, необходимо, чтобы
Предположим, что D - невелико (краткосрочный прогноз), то для решения такой задачи используют модель Брауна.
.
Если рассматривать прогноз на 1 шаг вперед, то — погрешность этого прогноза, а новый прогноз
получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки — суть адаптации.
При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее отразить новые изменения и в то же время как можно лучше "очистить" ряд от случайных колебаний. Т.о. следует увеличивать вес более свежих наблюдений:
С другой стороны, для сглаживания случайных отклонений, нужно уменьшить:
.
Т.о. эти два требования находятся в противоречии. Мы будем брать
из интервала (0,0.5).
