Графические модели (курс лекций)/2013/Задание 3

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Kropotov (Обсуждение | вклад)
(Новая: {{main|Графические модели (курс лекций)}} {{stop|Формулировка задания находится в стадии подготовки. Убедит...)
К следующему изменению →

Версия 16:40, 15 марта 2013

Основная статья: Графические модели (курс лекций)

Формулировка задания находится в стадии подготовки. Убедительная просьба не приступать к выполнению задания до тех пор, пока это предупреждение не будет удалено.

Начало выполнения задания: 18 марта 2013 г.;
Срок сдачи: 31 марта 2013 г., 23:59.

Среда для выполнения задания — MATLAB. Неэффективная реализация кода может негативно отразиться на оценке.

Формулировка задания

Рассматривается авторегрессионная скрытая марковская модель, в которой полное правдоподобие задается как:

$p(X,T|\theta)=p(t_1)\prod_{n=2}^Np(t_n |t_{n-1})\prod_{n=1}^Np(x_n |t_n,x_{n-1},\dots,x_{n-M} )$

Пусть скрытая компонента $t_n$ в произвольный момент времени может принимать значения из множества $\{1,\dots,K\}$ . Априорное распределение на значение скрытой компоненты в первый момент времени задается вектором $w_1,\ldots,w_K$ , причем все $w_i\ge 0$ и $\sum_iw_i=1$ . Распределение $p(t_n |t_{n-1})$ задается матрицей перехода $A$ размера $K\times K$ , где в $ij$ -ой позиции стоит вероятность перехода из состояния $i$ в состояние $j$ . Все элементы этой матрицы неотрицательны и сумма элементов по каждой строке равна единице. Модель генерации данных задается нормальными распределениями с одинаковой матрицей ковариации $\Sigma$ и своими математическими ожиданиями $\mu_{n,j}$ для каждого состояния и каждого момента времени. Математическое ожидание зависит не только от состояния СММ, но и от предыдущих значений $x$ (авторегрессионная составляющая) и задается формулой

$\mu_{n,j}=c_{0,j}+\sum_{m=1}^Mc_{m,j}x_{n-m},$

где $c_{0,j},\ldots,c_{M,j}$ — коэффициенты авторегрессии, которые зависят от состояния СММ.

Таким образом, набор параметров модели определяется вектором $\vec{w}$ , матрицей $A$ , матрицей ковариаций $\Sigma$ и матрицей $C$ коэффициентов авторегрессии $\{c_{i,j}\}_{i=0,j=1}^{M,K}.$ Глубина авторегрессии $M$ задается пользователем.

Для выполнения задания необходимо реализовать:

Алгоритм генерации выборки из вероятностной модели СММ с авторегрессией;
EM-алгоритм обучения СММ при заданном числе состояний $K$ и глубине авторегрессии $M$ ;
Алгоритм Витерби для сегментации сигнала при известных значениях параметров СММ, учитывающий значения наблюдаемой компоненты $x$ в предыдущие моменты времени.

Пояснения к заданию

Для подсчета авторегрессии в первые моменты времени вам понадобятся знания о значениях наблюдаемой компоненты $x_n$ в отрицательные моменты времени $-1,\ldots,-M+1$ . Считайте, что в них значение $x$ равно среднему значению наблюдаемой компоненты, подсчитанному по всему сигналу. Обратите внимание на необходимость оценивания коэффициентов авторегрессии и сдвижки на М-шаге. Для получения аналитических формул вам придется выписать функцию правдоподобия, приравнять ее логарифм к нулю и выразить искомые величины.

Оформление задания

Выполненное задание следует отправить письмом по адресу bayesml@gmail.com с заголовком письма «[ГМ13] Задание 3 <ФИО>». Убедительная просьба присылать выполненное задание только один раз с окончательным вариантом. Также убедительная просьба строго придерживаться заданных ниже прототипов реализуемых функций.

Присланный вариант задания должен содержать в себе:

Файл отчёта в формате PDF с указанием ФИО.
Все исходные коды с необходимыми комментариями.

Генерация выборки

[X, T] = ARHMM_GENERATE(N, w, A, Mu, Sigma, C)

ВХОД

N — количество точек в генерируемой последовательности, uint32;

w — априорные вероятности для скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x K;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

Mu — константы в центрах гауссиан для каждого состояния, матрица типа double размера K x d, в которой в каждой строке стоит вектор для соответствующего состояния;

Sigma — общая матрица ковариации гауссиан, матрица типа double размера d x d;

C — коэффициенты авторегрессии, матрица типа double размера K x M;

ВЫХОД

X — сгенерированная последовательность, матрица типа double размера N x d

T — последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x N

Обратите внимание: в процедуре ARHMM_GENERATE количество признаков, скрытых состояний и глубина авторегрессии определяются неявно по размеру соответствующих элементов.

Сегментация

T = ARHMM_TEST(X, w, A, Mu, Sigma, C)

ВХОД

X — входная последовательность, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – количество признаков;

w — априорные вероятности, матрица типа double размера 1 x K, где K – количество скрытых состояний;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

Sigma — общая матрица ковариации гауссиан, матрица типа double размера d x d;

C — коэффициенты авторегрессии, матрица типа double размера K x M, где M — глубина авторегрессии;

ВЫХОД

T — полученная последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x N

Обучение

[w, A, Mu, Sigma, C, core] = ARHMM_EM_TRAIN(X, K, M)

[w, A, Mu, Sigma, C, core] = ARHMM_EM_TRAIN(X, K, M, InputParameters)

ВХОД

X — входная последовательность, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – число признаков;

K — количество скрытых состояний, число типа uint16;

M — глубина авторегрессии, число типа uint16;

InputParameters — (необязательный аргумент) набор дополнительных параметров, массив типа cell вида ParameterName1, ParameterValue1, ParameterName2, ParameterValue2 и т.д. Возможны следующие параметры:

'w' — задаваемый пользователем вектор априорных вероятностей (соответственно, его не нужно определять в процессе EM-итераций);

'A' — задаваемая пользователем матрица перехода;

'Mu' — задаваемые пользователем центры гауссиан для каждого состояния;

'Sigma' — задаваемая пользователем матрица ковариации гауссиан;

'C' — задаваемые пользователем коэффициенты авторегрессии;

'num_iter' — максимально допустимое число итераций EM-алгоритма;

'tol_LH' — минимально допустимая величина отклонения по значению логарифма правдоподобия на одной итерации;

ВЫХОД

w — априорные вероятности для скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x K;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

Mu — центры гауссиан для каждого состояния, матрица типа double размера K x d, в которой в каждой строке стоит вектор мат.ожидания для соответствующего состояния;

Sigma — матрица ковариации гауссиан, массив типа double размера d x d;

C — коэффициенты авторегрессии, матрица типа double размера K x M;

Core — все параметры для всех итераций EM-алгоритма, массив структур длины num_iter с полями 'w', 'A', 'Mu', 'Sigma', 'C', 'gamma', 'LH', где gamma – матрица значений gamma для всех точек и всех состояний, LH – логарифм правдоподобия

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8_%28%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9%29/2013/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_3»

Категория: Учебные курсы