Оценивание дискретных распределений при дополнительных ограничениях на вероятности некоторых событий (виртуальный семинар)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Частная постановка задачи)
(→Частная постановка задачи)
Строка 15: Строка 15:
<tex>X_l = \int_{M/T*(l-1) + \delta_+}^{M/T * l} { ( \omega^(1)_t }, \omega^(2)_t ) dt }</tex> (<tex>\delta_+</tex> - положительное бесконечно малое число введено, чтобы не учитывать два раза события на границе интервала). Для M=2 и D=2 множество <tex>X_l</tex> превращается в множество типа <tex>(i_1,j_1)</tex>, а множество функции плотности вероятности для двух интервалов превращается в <tex>((i_1,j_1),(i_2,j_2))</tex>, где <tex>(i_1,j_1)</tex> - количества событий типа i и j, соответственно, которые произошли в интервале [0,T].
<tex>X_l = \int_{M/T*(l-1) + \delta_+}^{M/T * l} { ( \omega^(1)_t }, \omega^(2)_t ) dt }</tex> (<tex>\delta_+</tex> - положительное бесконечно малое число введено, чтобы не учитывать два раза события на границе интервала). Для M=2 и D=2 множество <tex>X_l</tex> превращается в множество типа <tex>(i_1,j_1)</tex>, а множество функции плотности вероятности для двух интервалов превращается в <tex>((i_1,j_1),(i_2,j_2))</tex>, где <tex>(i_1,j_1)</tex> - количества событий типа i и j, соответственно, которые произошли в интервале [0,T].
: Известны результаты реализации этого случайного процесса, из которых можно построить эмпирическую плотность распределения <tex>f*(\omega_t)</tex>.
: Известны результаты реализации этого случайного процесса, из которых можно построить эмпирическую плотность распределения <tex>f*(\omega_t)</tex>.
 +
 +
== Проблема выбора функции и параметризации для маргинальных плотностей (декомпозиция) и подгонка совместной плотности для удовлетворения связям ==
 +
 +
Проблемы:
 +
1) допустимость перехода к маргинальных плотностям;
 +
2) выбор метода оценки параметров. Хорош ли метод максимального правдоподобия для оценки параметров функции распределения, если при оценивании используются только интегральные по времени величины (интегральные эмпирическая функция и интегральная функция распределения вероятностей)).
== Ссылки ==
== Ссылки ==

Версия 14:33, 1 августа 2008

Содержание

Общая постановка задачи

Задача состоит в восстановлении дискретной функции плотности вероятности f(\omega_t) (где \omega_t - элементарные исходы, зависящие от времени t \in [0, T], T < \infty, \omega_t \in ( (0|1) , (0|1) , ..., (0|1) ) = ( \delta_D(t-t^{(1)}_1)) * 1 + \delta_D(t-t^{(1)}_2)) * 1 + ... , \delta_D(t-t^{(2)}_1)) * 1 + \delta_D(t-t^{(2)}_2)) * 1 + ... , ), где \delta_D(.) - дельта-функция Дирака. То есть, проще говоря, события разного вида j происходят в случайные моменты времени t^{(j)}_k) ) при условии, что заданы условия на P(\omega_{A_i}) = X_{A_i} (где \omega_{A_i} - суперпозиция финальных исходов (интегрированных по времени: \omega = \int_{0}^{T} {w_t dt} = (i_1, ...,i_D);\; i_k \in Z_{0,+} \; ( k=1,D ))), P(.) - функция распределения вероятностей, X_{A_i} - заданные вероятности, i = 1,...,K).

Эмпирические частоты для \omega_t заданы.

В качестве функционала качества предлагается использовать: q(Pr^*)=(1/n \sum_ {X \in \Omega_X} {Pr\{ X \} / Pr^*\{ X \} } - 1)^2, где Pr^* - оценки на вероятности исходов, которые строятся из элементарных исходов интегрированием по времени и суперпозицией получившихся исходов; сумма берется по полному набору исходов (n - полное число исходов в \Omega_X), Pr\{ X \} - истинные значения вероятностей.

Частная постановка задачи

В частном случае: D=2, P(\omega_{A_1}) = \sum_{i>j; i,j \in Z_{0,+}} {Pr\{(i,j)\}} = Q_1, \; P(\omega_{A_2}) = \sum_{i<j; i,j \in Z_{0,+}} {Pr\{(i,j)\}} = Q_2, \; P(\omega_{A_3}) = \sum_{i+j \le T; i,j \in Z_{0,+}} {Pr\{(i,j)\}} = Q_3

В качестве функционала качества можно принять среднее среди функционалов качества для интегральных по времени исходов для деления всего времени на M одинаковых интервалов: q(Pr^*)= 1/M \sum_{l=1,M}(1/n_l \sum_ {X_l \in \Omega_{X_l}} {Pr_l\{ X \} / Pr_l^*\{ X_l \} } - 1)^2, где X_l = \int_{M/T*(l-1) + \delta_+}^{M/T * l} { ( \omega^(1)_t }, \omega^(2)_t ) dt } (\delta_+ - положительное бесконечно малое число введено, чтобы не учитывать два раза события на границе интервала). Для M=2 и D=2 множество X_l превращается в множество типа (i_1,j_1), а множество функции плотности вероятности для двух интервалов превращается в ((i_1,j_1),(i_2,j_2)), где (i_1,j_1) - количества событий типа i и j, соответственно, которые произошли в интервале [0,T].

Известны результаты реализации этого случайного процесса, из которых можно построить эмпирическую плотность распределения f*(\omega_t).

Проблема выбора функции и параметризации для маргинальных плотностей (декомпозиция) и подгонка совместной плотности для удовлетворения связям

Проблемы: 1) допустимость перехода к маргинальных плотностям; 2) выбор метода оценки параметров. Хорош ли метод максимального правдоподобия для оценки параметров функции распределения, если при оценивании используются только интегральные по времени величины (интегральные эмпирическая функция и интегральная функция распределения вероятностей)).

Ссылки

Литература

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%B4%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D1%85_%D0%BD%D0%B0_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B9_%28%D0%B2%D0%B8%D1%80%D1%82%D1%83%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%29»
Личные инструменты