Оценивание дискретных распределений при дополнительных ограничениях на вероятности некоторых событий (виртуальный семинар)
Материал из MachineLearning.
м (→Общая постановка задачи) |
м (/* Проблема выбора функции и параметризации для маргинальных плотностей (декомпозиция) и подгонка совместной плотности для удовлетворе) |
||
| Строка 16: | Строка 16: | ||
: Известны результаты реализации этого случайного процесса, из которых можно построить эмпирическую плотность распределения <tex>f*(\omega_t)</tex>. | : Известны результаты реализации этого случайного процесса, из которых можно построить эмпирическую плотность распределения <tex>f*(\omega_t)</tex>. | ||
| - | == Проблема выбора функции и параметризации для маргинальных плотностей (декомпозиция) и подгонка совместной плотности для удовлетворения связям == | + | == Проблема выбора функции и параметризации для маргинальных плотностей (декомпозиция) и подгонка совместной плотности для удовлетворения связям (обратная композиция) == |
Проблемы: | Проблемы: | ||
* допустимость перехода к маргинальных плотностям; | * допустимость перехода к маргинальных плотностям; | ||
| - | * выбор метода оценки параметров. Хорош ли метод максимального правдоподобия для оценки параметров функции распределения, если при оценивании используются только интегральные по времени величины (интегральные эмпирическая функция и интегральная функция распределения вероятностей)). | + | * выбор класса функции плотности вероятностей; |
| + | * выбор метода оценки параметров. Хорош ли метод максимального правдоподобия для оценки параметров функции плотности распределения, если при оценивании используются только интегральные по времени величины (интегральные эмпирическая функция и интегральная функция распределения вероятностей)). | ||
| + | * метод подгонки совместной плотности для удовлетворения связям. (1) Для случая одного интервала разбиения: <tex>\min_{[ Pr**\{(i,j)\}; \lambda_k ; \sum_{i,j=0,N} {Pr**\{(i,j)\} < 1]}}{\; \; \sum_{i,j = 0,N} {( (Pr_i*\{(i)\} \, Pr_j*\{(j)\}) - Pr**\{(i,j)}\} ) ^2 + \sum_{k=1,3} { \lambda_k \, ( Pr*\{\omega_{A_k}\} - Q_k)} } </tex>, <tex>Pr**\{(i,j)\} = \int_{0}^{T}{f**(\omega_t) dt}</tex>. (2) Для случая двух интервалов разбиения: <tex>\min_{[ Pr**\{((i_1,j_1),(i_2,j_2))\}; \lambda_k ; \sum_{i1,j1,i2,j2=0,N} {Pr**\{((i1,j1),(i2,j2))\}} < 1 ]}{\; \; \sum_{i1,i2,j1,j2 = 0,N} {( (Pr_{i_1}*\{(i_1)\} \, Pr_{j_1}*\{(j_1)\} \, Pr_{i_2}*\{(i_2)\} \, Pr_{j_2}*\{(j_2)\}) - Pr**\{((i_1,j_1),(i_2,j_2))}\} ) ^2 + \sum_{k=1,3} { \lambda_k \, ( Pr*\{\omega_{A_k}\} - Q_k)} } </tex>. | ||
| + | *# статистические свойства метода подгонки; | ||
| + | *# возможность введения в квадратичное выражение констант <tex>С_{i,j}</tex>, зависящих от эмпирических данных. | ||
| + | * статистические свойства и свойства функционала качества итоговой оценки плотности. | ||
| + | |||
| + | == Сглаживание и подгонка совместной плотности (без декомпозии к маргинальны плотностям) == | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
Версия 08:01, 2 августа 2008
Общая постановка задачи
Задача состоит в восстановлении дискретной функции плотности вероятности (где
- элементарные исходы, зависящие от времени
,
, где
- дельта-функция Дирака. То есть, проще говоря, события разного вида
происходят в случайные моменты времени
) ) при условии, что заданы условия на
(где
- суперпозиция финальных исходов (интегрированных по времени:
)),
- функция распределения вероятностей,
- заданные вероятности,
).
Эмпирические частоты для заданы.
В качестве функционала качества предлагается использовать: , где
- оценки на вероятности исходов, которые строятся из элементарных исходов интегрированием по времени и суперпозицией получившихся исходов; сумма берется по полному набору исходов (n - полное число исходов в
),
- истинные значения вероятностей.
Частная постановка задачи
В частном случае: D=2,
В качестве функционала качества можно принять среднее среди функционалов качества для интегральных по времени исходов для деления всего времени на M одинаковых интервалов:
, где
(
- положительное бесконечно малое число введено, чтобы не учитывать два раза события на границе интервала). Для M=2 и D=2 множество
превращается в множество типа
, а множество функции плотности вероятности для двух интервалов превращается в
, где
- количества событий типа i и j, соответственно, которые произошли в интервале [0,T].
- Известны результаты реализации этого случайного процесса, из которых можно построить эмпирическую плотность распределения
.
Проблема выбора функции и параметризации для маргинальных плотностей (декомпозиция) и подгонка совместной плотности для удовлетворения связям (обратная композиция)
Проблемы:
- допустимость перехода к маргинальных плотностям;
- выбор класса функции плотности вероятностей;
- выбор метода оценки параметров. Хорош ли метод максимального правдоподобия для оценки параметров функции плотности распределения, если при оценивании используются только интегральные по времени величины (интегральные эмпирическая функция и интегральная функция распределения вероятностей)).
- метод подгонки совместной плотности для удовлетворения связям. (1) Для случая одного интервала разбиения:
,
. (2) Для случая двух интервалов разбиения:
.
- статистические свойства метода подгонки;
- возможность введения в квадратичное выражение констант
, зависящих от эмпирических данных.
- статистические свойства и свойства функционала качества итоговой оценки плотности.
