Шаговая регрессия (пример)

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Решение практических задач восстановления регрессионной зависимости требует рассмотрения большого числа порождаемых признаков. Процедура построения регрессионных моделей состоит из двух шагов. На первом шаге, на основе свободных переменных- результатов измерений, порождается набор признаков. На втором шаге производится выбор признаков. При выборе признаков выполняется настройка параметров модели, оценивается её качество. Модель с настроенными параметрами, доставляющая минимум заданному функционалу качества, называется моделью оптимальной структуры.

Среди методов отбора признаков широкое распространение получил шаговый метод, впервые предложенный в 1960 году Эфроимсоном. На каждом шаге признаки проверяются на возможность добавления признаков в модель или удаления из модели, основываясь на F-статистике. Также могут быть использованы другие способы определения значимости признака, например, критерий Акаике, Байесовский критерий, критерий Маллоуза.

В данной статье рассматриваются два метода отбора признаков: метод наименьших углов и шаговая регрессия. Эти методы похожи. Различие заключается в том, что алгоритм LARS, вместо последовательного добавления и удаления свободных переменных, на каждом шаге изменяет их веса.

Метод наименьших углов (англ. least angle regression, LARS) - алгоритм отбора признаков в задачах линейной регрессии. При большом количестве свободных переменных возникает проблема неустойчивого оценивания весов модели. LARS предлагает метод выбора такого набора свободных переменных, который имел бы наиболее значимую статистическую связь с зависимой переменной. Также LARS предлагает метод оценки весов.

Постановка задачи

Цель шаговой регрессии состоит в отборе из большого количества предикатов небольшой подгруппы переменных, которые вносят наибольший вклад в вариацию зависимой переменной.

Пусть нам задана регрессионная модель

,

где - свободная переменная, - зависимая переменная, - набор параметров, - случайная аддитивная величина.

Алгоритм заключается в последовательном добавлении и удалении признаков, согласно определённому критерию. Обычно используется -критерий, который имеет вид

где индекс 2 соответствует второй регрессионной модели , индекс 1 соответствует первой регрессионной модели, которая является модификацией второй модели; - соответствующие числа параметров модели; - сумма квадратов невязок, задающий критерий качества модели:

Требуется найти набор признаков, удовлетворяющий -критерию.

Описание алгоритма

Шаговая регрессия включает два основных шага: шаг Add (последовательное добавление признаков) и шаг Del (последовательное удаление признаков).

Обозначим текущий набор признаков . Начальным набором является пустой набор . К текущему набору присоединяется по одному признаку, который дoставляет максимум -критерию или

Добавляется несколько признаков, пока значение критерия на шаге не станет меньше заданного . Затем признаки удаляются по одному так, чтобы значение -критерия было минимально:

Признаки удаляются , пока значение F-критерия на шаге не станет больше заданного критического значения .

Критические значения и для каждого шага определяются по таблице Фишера c заданным уровнем значимости со степенями свободы и .

Остановка алгоритма

Останов алгоритма производится при достижении заданного минимума критерием Маллоуза  :

,

где - среднеквадратичная ошибка, вычисленная для модели, настроенной методом наименьших квадратов на всем множестве признаков, - сложность модели.

Критерий штрафует модели с большим количеством признаков. Минимизация критерия позволяет найти множество, состоящее из значимых признаков.

Вычислительный эксперимент

Показана работа алгоритмов в серии задач, основанных как на реальных, так и на модельных данных.

Пример на модельных данных

Рассмотрим пример на модельных данных. Сравним два алгоритма: Метод наименьших углов и Шаговую регрессию. Назначена линейная модель, выборка состоит из 20 объектов и 10 признаков. По оси абсцисс показаны номера признаков, по оси ординат- параметры, полученные при использовании Метода наименьших углов. Красным цветом обозначены признаки, выбранные при помощи Шаговой регрессии. Мы видим, что Шаговой регрессией были выбраны 6 признаков, которым алгоритмом Lars были присвоены наибольшие значения параметров .

Пример на реальных данных

Рассмотрим пример на реальных данных : данные по кредитованию одним из немецких банков . Проведем проверку алгоритма на задаче из репозитория UCI: Statlog (German Credit Data) Data Set. Объектами являются анкеты людей, желавших получить кредит в банке. Изначально анкеты содержали 20 пунктов, таких как состояние банковского счета заемщика, информация о его кредитной истории, цель займа, величина займа, возраст заемщика, время с момента трудоустройства на текущее место работы и другие. Но так как некоторые из них не были числовыми, а многие алгоритмы (в том числе рассматриваемый в данной статье) работают только с числовыми признаками, то из 20 разнородных признаков было составлено 24 числовых. В выборке представлено 256 объектов.

Нахождение модели оптимальной структуры

На графике показана зависимость критерия Маллоуза от количества признаков в модели. Из графика мы находим, что минимум критерия Маллоуза достигается при количестве признаков, равном 13. Это и есть модель оптимальной структуры.

Сравнение работы двух алгоритмов

Аналогично примеру 1, сравним два алгоритма.На графике показана зависимость параметров модели, полученные с помощью Lars, от номера признака. Красным цветом обозначены признаки, выбранные при помощи Шаговой регрессии. В отличие от первого примера на модельных данных, Шаговой регрессией были выбраны несколько признаков, которым Lars присвоил параметры, близкие к нулю. Одним из недостатков метода Шаговой регрессии является то, что важная переменная может быть никогда не включена в модель, а второстепенные признаки будут включены.

Зависимость критериев от шага алгоритмов

Сравним для двух моделей значения критерия Маллоуза, критерия Акаике и критерия SSE(сумма квадратов регрессионных остатков). Сплошной линией показаны критерии для Шаговой регрессии, пунктирной- для Метода наименьших углов.

Сравнение критерия Маллоуза для обучающей и тестовой выборки (Stepwise regression)

В качестве обучающей выборки были выбраны 200 объектов, в качестве тестовой- остальные 56.

Сравнение критерия Маллоуза для обучающей и тестовой выборки (Lars)

Исходный код

Скачать листинги алгоритмов можно здесь [1]

Смотри также

• Pегрессионный анализ
• Регрессионная модель
• Метод наименьших углов
• Шаговая регрессия
• Критерий Фишера

Литература

• Крымова Е.А., Стрижов В.В. Алгоритмы выбора признаков линейных регрессионных моделей из конечного и счетного множеств.

Данная статья была создана в рамках учебного задания. Студент: Раиса Джамтырова Преподаватель: В.В.Стрижов Срок: 28 мая 2010 В настоящее время задание завершено и проверено. Данная страница может свободно правиться другими участниками проекта MachineLearning.ru. См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.