Критерий Колмогорова-Смирнова

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Описание критерия)
(Отмена правки № 32188 участника Headrd (обсуждение))
Строка 19: Строка 19:
Гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается, если статистика <tex>\sqrt{n}D_n\!</tex> превышает квантиль распределения <tex>K_\alpha</tex> заданного уровня значимости <tex>\alpha</tex>,
Гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается, если статистика <tex>\sqrt{n}D_n\!</tex> превышает квантиль распределения <tex>K_\alpha</tex> заданного уровня значимости <tex>\alpha</tex>,
и принимается в противном случае.
и принимается в противном случае.
-
 
-
== Примечание ==
 
-
 
-
В критерии Колмогорова целесообразно использовать статистику с поправкой Большева. <ref> Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.</rer>.
 
-
Тогда распределение статистики быстрее сходится к предельному распределению Колмогорова, и зависимостью от объема выборки можно пренебречь при ''n''болше 25.
 
-
 
==Использование критерия для проверки нормальности==
==Использование критерия для проверки нормальности==
При помощи критерия Колмогорова-Смирнова определяется, описывает ли заданная функция наблюдаемое распределение <tex>X</tex>,
При помощи критерия Колмогорова-Смирнова определяется, описывает ли заданная функция наблюдаемое распределение <tex>X</tex>,

Версия 14:57, 19 октября 2013

Критерий Колмогорова-Смирнова используется для проверки гипотезы H_0: "случайная величина X имеет распределение F(x)".

Содержание

Примеры задач

Критерий Колмогорова-Смирнова уместно применять в тех случаях, когда нужно проверить, подчиняется ли наблюдаемая случайная величина некоторому закону распределения, известному с точностью до параметров. Например, все исходы, выдаваемые рулеткой казино, должны быть равновероятны. Предположим, требуется выяснить, можно ли считать некоторую рулетку "честной". Для этого следует составить достаточно большую выборку из исходов этой рулетки. Чтобы установить, является ли выборка равномерно распределённой, можно воспользоваться критерием Колмогорова-Смирнова.

Описание критерия

Пусть X_n - выборка независимых одинаково распределённых случайных величин, F_n(x) - эмпирическая функция распределения, \Phi(x) - некоторая фиксированная "истинная" функция распределения. Тогда статистика критерия определяется следующим образом:

D_n=\sup_x |F_n(x)-\Phi(x)|.

Обозначим через H_0 гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению \Phi(X)\in \mathrm{C}^1(\mathbb{X}). Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

\forall t>0: \quad \lim_{n \to \infty}P(\sqrt{n} D_n \leq t)=K(t)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}(-1)^j \mathrm{e}^{-2j^2t^2}.

Гипотеза H_0 отвергается, если статистика \sqrt{n}D_n\! превышает квантиль распределения K_\alpha заданного уровня значимости \alpha, и принимается в противном случае.

Использование критерия для проверки нормальности

При помощи критерия Колмогорова-Смирнова определяется, описывает ли заданная функция наблюдаемое распределение X, в то время как для проверки нормальности требуется выяснить, принадлежит ли функция распределения величины X параметрическому семейству функций. Возможный способ решения заключается в использовании выборочных оценок среднего и дисперсии. Однако в этом случае следует использовать модифицированное значение статистики

D_n^*=D_n(\sqrt{n} - 0.01 + \frac{0.85}{\sqrt{n}}).

Критическме значения D_n^* приведены в следующей таблице:

\alpha 0,15 0,10 0,05 0,03 0,01
D_n^*(\alpha) 0,775 0,819 0,895 0,955 1,035

Литература

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
  2. Kolmogorov А. N. Confidence limits for an unknown distribution function // AMS. 1941. V. 12. P. 461-463.
  3. Смирнов Н. В. Оценка расхождения между эмпирическими кривыми распределений в двух независимых выборках // Бюллетень МГУ. Сер. А. Вып. 2. 1939. С. 13—14.

См. также

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%A1%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0»
Личные инструменты