Интерполяция функций двух переменных, проблема выбора узлов
Материал из MachineLearning.
(→Изложение метода) |
(→Билинейная интерполяция) |
||
Строка 19: | Строка 19: | ||
Билинейной интерполяцией называют расширение линейной интерполяции для функций двух переменных. Для этого сначала реализуется линейная интерполяция по x на каждой прямой y = y<sub>m</sub> . Затем при каждом значении x = x<sub>n</sub> реализуется линейная интерполяция по y с учетом значений функции, полученных на первом шаге.<br/> | Билинейной интерполяцией называют расширение линейной интерполяции для функций двух переменных. Для этого сначала реализуется линейная интерполяция по x на каждой прямой y = y<sub>m</sub> . Затем при каждом значении x = x<sub>n</sub> реализуется линейная интерполяция по y с учетом значений функции, полученных на первом шаге.<br/> | ||
- | Пусть <tex>\ x\in[x_n,x_n_+_1],\ \ y\in[y_m,y_m_+_1]</tex> | + | Пусть <tex>\ x\in[x_n,x_n_+_1],\ \ y\in[y_m,y_m_+_1]</tex><br/> |
+ | ::<tex>F(x,y)\approx \ f_{nm}\frac{(x_{n+1}-x)(y_{m+1}-y)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}\ \ \ +\ \ \ f_{n+1,m}\frac{(x-x_n)(y_{m+1}-y)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}+<br/>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +f_{n,m+1}\frac{(x-x_n)(y-y_m)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}\ +\ f_{n+1,m+1}\frac{(x_{n+1}-x)(y-y_m)}{{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}</tex> | ||
== Числовой пример == | == Числовой пример == |
Версия 07:33, 16 октября 2008
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Интерполя́ция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Рассмотрим систему несовпадающих точек () из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что
- Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
- Тройки называют точками данных или базовыми точками.
- Разность между «соседними» значениями — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным так и постоянным.
- Функцию — называют интерполирующей функцией .
Изложение метода
Пусть сетка образована пересечением прямых x = xn, n = 0, ..., N и y = ym, m = 0, ..., M, fnm = f(xn, ym) — значение функции в узле {xn, ym }.
Билинейная интерполяция
Билинейной интерполяцией называют расширение линейной интерполяции для функций двух переменных. Для этого сначала реализуется линейная интерполяция по x на каждой прямой y = ym . Затем при каждом значении x = xn реализуется линейная интерполяция по y с учетом значений функции, полученных на первом шаге.
Пусть