Интерполяция кубическими сплайнами
Материал из MachineLearning.
(Новая: == Введение == === Постановка математической задачи === Одной из основных задач численного анализа являе...) |
(→Изложение метода) |
||
Строка 70: | Строка 70: | ||
Подставив теперь выражения для <tex>b_i, b_{i+1}</tex> и <tex>d_i</tex> в первую формулу {{eqref|5}}, после несложных преобразований получаем для определения <tex>c_i</tex> разностное уравнение второго порядка | Подставив теперь выражения для <tex>b_i, b_{i+1}</tex> и <tex>d_i</tex> в первую формулу {{eqref|5}}, после несложных преобразований получаем для определения <tex>c_i</tex> разностное уравнение второго порядка | ||
{{ eqno | 6 }} | {{ eqno | 6 }} | ||
- | <p align="center"><tex>h_ic_i+2(h_i+h_{i+1})c_{i+1}+h_{i+1}c_{i+2}= | + | <p align="center"><tex>h_ic_i+2(h_i+h_{i+1})c_{i+1}+h_{i+1}c_{i+2}=3\left(\frac{y_{i+1}-y_i}{h_{i+1}} - \frac{y_{i+1}-y_i}{h_{i+1}}\right), i=1, 2, \cdots, n-1.</tex></p> |
С краевыми условиями | С краевыми условиями |
Версия 12:38, 18 октября 2008
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Одной из основных задач численного анализа является задача об интерполяции функций. Пусть на отрезке задана сетка и в её узлах заданы значения функции , равные . Требуется построить интерполянту — функцию , совпадающую с функцией в узлах сетки:
Основная цель интерполяции — получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений для значений , не содержащихся в таблице данных.
Интерполируюшие функции , как правило строятся в виде линейных комбинаций некоторых элементарных функций:
где — фиксированный линейно независимые функции, — не определенные пока коэффициенты.
Из условия (1) получаем систему из уравнений относительно коэффициентов :
Предположим, что система функций такова, что при любом выборе узлов отличен от нуля определитель системы:
.
Тогда по заданным однозначно определяются коэффициенты .
Изложение метода
Интерполяция кубическими сплайнами является частным случаем кусочно-полиномиальной интерполцией. В этом специальном случае между любыми двумя соседними узлами функция интерполируется кубическим полиномом. его коэффициенты на каждом интервале определяются из условий сопряжения в узлах:
Кроме того, на границе при и ставятся условия
Будем искать кубический полином в виде
Из условия имеем
Вычислим производные:
и потребуем их непрерывности при :
Общее число неизвестных коэффициентов, очевидно, равно , число уравнений (4) и (5) равно . Недостающие два уравнения получаем из условия (2) при и :
Выражение из (5) , подставляя это выражение в (4) и исключая , получим
Подставив теперь выражения для и в первую формулу (5), после несложных преобразований получаем для определения разностное уравнение второго порядка
С краевыми условиями
Условие эквивалентно условию и уравнению . Разностное уравнение (6) с условиями (7) можно решить методом прогонки, представив в виде системы линейных алгебраических уравнений вида , где вектор соответствует вектору , вектор поэлементно равен правой части уравнения (6), а матрица имеет следующий вид:
где и .
Метод прогонки
Метод прогонки, основан на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:
Используя это соотношение, выразим и через и подставим в i-e уравнение:
,где - правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать
Отсюда следует:
Из первого уравнения получим:
После нахождения прогоночных коэффициентов и , используя уравнение (1), получим решение системы. При этом,
Числовой пример
Построим интерполянту для для функции , заданной следующим образом:
1 | 1.0002 |
2 | 1.0341 |
3 | 0.6 |
4 | 0.40105 |
5 | 0.1 |
6 | 0.23975 |
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
- А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.
- Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции по численным методам