Участник:Gukov/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Постановка математической задачи)
(→Изложение метода)
Строка 28: Строка 28:
== Изложение метода ==
== Изложение метода ==
 +
 +
Предположим, что для вычисления интеграла {{eqref|1}} отрезок <tex>[a, b]</tex> разбит на <tex>N</tex> равных отрезков длины
 +
<tex>h = \frac{b-a}N</tex> и на каждом частичном отрезке применяется одна и та жа квадратурная формула. Тогда исходный интеграл <tex>I</tex>
 +
заменяется некоторой квадратурной суммой <tex>I_h</tex>, причем возникающая погрешность зависит от шага сетки <tex>h</tex>.
 +
Для некоторых квадратурных формул удается получить разложение погрешности <tex>I_h - I</tex> по степеням <tex>h</tex>. Предположим,
 +
что для данной квадратурной суммы <tex>I_h</tex> существует разложение:
 +
 +
{{ eqno | 3}}
 +
:<tex>I_h = I_0 + a_1 h^{\alpha _1} + a_2 h^{\alpha _2} + \ldots + a_m h^{\alpha _m} + O(h^{\alpha _{m+1}})</tex>,
 +
 +
где <tex>0 < \alpha _1 < \alpha _2 < \ldots < \alpha _m < \alpha _{m+1}</tex> и коэффициенты <tex>\{ a_i \} \subset \mathbb{R}</tex> не зависят от <tex>h</tex>.
 +
При этом величины <tex>\{ \alpha _i \} \subset \mathbb{R}</tex> предполагаются известными.
 +
Теперь предположим:
 +
:<tex>I(\frac{h}{r}) = I_0 + a_1\,\frac{h^{\alpha _1}}{r^{\alpha 1}} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha 2}} + \ldots</tex>
 +
 +
Чтобы избавиться от степени <tex>h^{\alpha _1}</tex>, составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагамое при <tex>h^{\alpha _1}</tex> является наибольшим) вычислим величину <tex>-I(h) + r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}r)</tex>. Имеем:
 +
 +
:<tex>I_1(h) = r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}{r}) - I(h) = r^{\alpha _1}\,I_0 - I_0 +</tex>
== Числовой пример ==
== Числовой пример ==

Версия 03:59, 19 октября 2008

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Задача численного интегрирования состоит в приближенном нахождении значения интеграла

( 1)
I = \int\limits_a^b f(x)\,dx,

где f(x) - заданная и интегрируемая на [a, b] функция. В качестве приближенного значения рассматривается число

( 2)
I_n=\sum_{i=0}^n c_k f(x_k),

где c_k - числовые коэффициенты и x_k - точки отрезка [a,b], k = 0, 1, \ldots, n . Приближенное равенство

\int\limits_a^b f(x)\,dx=\sum_{k=0}^n c_k f(x_k)

называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) - квадартурной суммой. Точки x_i называются узлами квадратурной формулы. Разность

\Psi _n = \int\limits_a^b f(x)\,dx-\sum_{k=0}^n c_k f(x_k)

называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.

Изложение метода

Предположим, что для вычисления интеграла (1) отрезок [a, b] разбит на N равных отрезков длины h = \frac{b-a}N и на каждом частичном отрезке применяется одна и та жа квадратурная формула. Тогда исходный интеграл I заменяется некоторой квадратурной суммой I_h, причем возникающая погрешность зависит от шага сетки h. Для некоторых квадратурных формул удается получить разложение погрешности I_h - I по степеням h. Предположим, что для данной квадратурной суммы I_h существует разложение:

( 3)
I_h = I_0 + a_1 h^{\alpha _1} + a_2 h^{\alpha _2} + \ldots + a_m h^{\alpha _m} + O(h^{\alpha _{m+1}}),

где 0 < \alpha _1 < \alpha _2 < \ldots < \alpha _m < \alpha _{m+1} и коэффициенты \{ a_i \} \subset \mathbb{R} не зависят от h. При этом величины \{ \alpha _i \} \subset \mathbb{R} предполагаются известными. Теперь предположим:

I(\frac{h}{r}) = I_0 + a_1\,\frac{h^{\alpha _1}}{r^{\alpha 1}} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha 2}} + \ldots

Чтобы избавиться от степени h^{\alpha _1}, составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагамое при h^{\alpha _1} является наибольшим) вычислим величину -I(h) + r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}r). Имеем:

I_1(h) = r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}{r}) - I(h) = r^{\alpha _1}\,I_0 - I_0 +

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Gukov/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»
Личные инструменты