Рациональная интерполяция
Материал из MachineLearning.
(→Введение) |
|||
| Строка 5: | Строка 5: | ||
<tex>R(x)=\frac{a_0+a_1x+\dots+a_px^p}{b_0+b_1x+\dots+b_px^p}, p+q+1=n</tex> | <tex>R(x)=\frac{a_0+a_1x+\dots+a_px^p}{b_0+b_1x+\dots+b_px^p}, p+q+1=n</tex> | ||
| - | Коэффициенты <tex>a_i, b_i</tex> можно найти из совокупности соотношений <tex>R(x_j)=y_j, j=1,\ | + | Коэффициенты <tex>a_i, b_i</tex> можно найти из совокупности соотношений <tex>R(x_j)=y_j, j=1,\ldots,n,</tex> которые можно записать в виде |
| - | <tex> \sum_{j=0}^{p} a_j x_j^j-f(x_i)\sum_{j=0}^{q}b_j x_i^j=0, i=1,\ | + | <tex> \sum_{j=0}^{p} a_j x_j^j-f(x_i)\sum_{j=0}^{q}b_j x_i^j=0, i=1,\ldots, n</tex> |
Таким образом полычаем систему ''n'' линейных алгебраических уравнений относительно ''n+1'' неизыестных. | Таким образом полычаем систему ''n'' линейных алгебраических уравнений относительно ''n+1'' неизыестных. | ||
| Строка 17: | Строка 17: | ||
и реккурентным соотношением | и реккурентным соотношением | ||
| - | <tex> f^{-}(x_k;\ | + | <tex> f^{-}(x_k;\ldots;x_l)=\frac{x_l-x_k}{f^{-}(x_{k+1};\ldots;x_l)-f^{-}(x_k;\ldots;x_{l-1})}</tex> |
после чего интерполирующая рациональная функция записывается в виде цепной дроби | после чего интерполирующая рациональная функция записывается в виде цепной дроби | ||
| + | |||
| + | <tex> f^{-}(x_k;\ldots;x_l)=f(x_1)+\frac{x-x_1}{f^{-}(x_1;x_2)+\frac{x-x_2} {f^{-}(x_1;x_2;x_3)+ \frac{x-x_3}{f^{-}(x_k;\ldots;x_{l-1}) } } }</tex> | ||
| + | |||
==Погрешность вычислений== | ==Погрешность вычислений== | ||
Версия 12:58, 19 октября 2008
Содержание |
Введение
Некоторые функции нельзя с достаточной точностью приблизить полиномами или полиномиальное приближение очень медленно сходится. В этом случае разумно обратиться к другому методу - к дробно-рациональному приближению (иногда называют просто рациональное), которое соответсвует отношению двух многочленов.
Коэффициенты можно найти из совокупности соотношений
которые можно записать в виде
Таким образом полычаем систему n линейных алгебраических уравнений относительно n+1 неизыестных. Функция R(x) может быть записана в явном виде в случаях, когда n нечетное и p=q, и когда n четное и p-q=1. Для этого следует вычислить обратные разделенные разности, определяемые условиями
и реккурентным соотношением
после чего интерполирующая рациональная функция записывается в виде цепной дроби
