Вычисление второй производной по разным переменным
Материал из MachineLearning.
(Различия между версиями)
(→Изложение метода) |
(→Изложение метода) |
||
| Строка 5: | Строка 5: | ||
Рассмотрим формулу <tex>\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} </tex>=<tex>(f_x')_y'</tex>. Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - <tex>f'(x)</tex>=<tex>\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}</tex>. | Рассмотрим формулу <tex>\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} </tex>=<tex>(f_x')_y'</tex>. Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - <tex>f'(x)</tex>=<tex>\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}</tex>. | ||
Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках. | Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках. | ||
| - | Для начала найдем две производные по y в точках <tex>M(x+h_x)</tex> и <tex>N(x-h_x)</tex>, | + | Для начала найдем две производные по y в точках <tex>M(x+h_x)</tex> и <tex>N(x-h_x)</tex> |
| + | <tex>f(x+h_x,y)_y' = \frac{f(x+h_x,y+h_y)-f(x+h_x,y-h_y)}{2h}</tex> | ||
| + | <tex>f(x-h_x,y)_y' = \frac{f(x-h_x,y+h_y)-f(x-h_x,y-h_y)}{2h}</tex> | ||
| + | Затем найдем искомую производную по формуле <tex>f'(x)</tex>=<tex>\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}</tex>=<tex>\frac{f(M)-F(N)}{2h}</tex> | ||
Версия 17:53, 20 октября 2008
Введение
Постановка математической задачи
Допустим, что в некоторой точке у функции
существует производная 2-го порядка
, которую точно вычислить либо не удаётся, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производной функции требуется использовать методы численного дифференцирования.
Изложение метода
Рассмотрим формулу =
. Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом -
=
.
Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках.
Для начала найдем две производные по y в точках
и
Затем найдем искомую производную по формуле
=
=
