Участник:Пасконова Ольга/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 08:59, 24 ноября 2008

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема.

Пусть функции $f(x)$ и $\phi(x)$ определены соответственно на промежутках $\Delta_x$ и $\Delta_y$ , причем $\phi(\Delta_t) \subset \Delta_x$ . Если функция $f$ имеет на $\Delta_x$ первообразную $F{x)$ и, следовательно,

(1)

а функция $\phi(x)$ дифференцируема на $\Delta_t$ , то функция $f(\phi(t))\phi^,(t)$ имеет на $\Delta_t$ , первообразную $F(\phi(t))$ и

(2)

Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой $\phi(t) = x$ . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл ), можно сделать подстановку $x = \phi(t)$ , вычислить интеграл $\int f(x) dx$ и затем вернуться к переменной $t$ , положив $x = \phi(t)$ .

Примеры.

1. Для вычисления интеграла $\int cos ax dx$ естественно сделать подстановку $u = ax$ , тогда

2. Для вычисления интеграла удобно применить подстановку $u = x^3 + a^3$ :

3. При вычислении интегралов вида полезна подстановка $u = \phi(x)$ :

Например,

Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:

Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла $\int f(x) dx$ с помощью соответствующей замены переменного $x = \phi(t)$ свести к вычислению интеграла (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).

В случае, когда функция $\phi$ имеет обратную $\phi^{-1}$ , перейдя в обеих частях формулы (2) к переменной $x$ с помощью подстановки $t = \phi^{-1}(x)$ и поменяв местами стороны равенства, получим

Эта формула называется обычно формулой интегрирования заменой переменной.

Для того чтобы существовала функция $\phi^{-1}$ , обратная $\phi$ , в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке $\Delta_t$ функция $\phi$ была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция $\phi^{-1}$ .

4. Интегралы вида в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.

Действительно, замечая, что , сделаем замену переменной и положим . Тогда и, в силу формулы (2), получим

(перед $t^2$ стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной $t$ к переменной $x$ , получим искомый интеграл.

Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида

5. Интеграл можно вычислить с помощью подстановки $x = a sin t$ . Имеем $dx = a cos t dt$ , поэтому

Подставляя это выражение $t = arcsin \frac{x}{a}$ и замечая, что

окончательно будем иметь

Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.

Формула замены переменных в определенном интеграле

Теорема.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a'; b']$ , а функция $\phi(t)$ имеет непрерывную производную $\phi'(t)$ на отрезке $[\alpha; \beta]$ , причём все значения $x = \phi(t)$ при $[t \in{\alpha};{\beta}]$ принадлежат отрезку $[a'; b']$ , в том числе $\phi(\alpha) = a$ и $\phi(\beta) = b$ . Тогда имеет место равенство

Замечание.

Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной $x$ не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной $t$ . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.

Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной $x$ должны быть указаны пределы изменения именно $x$ (то есть $a$ и $b$ ), в то время как в исходном интеграле по переменной $t$ указаны пределы изменения $t$ (то есть $\alpha$ и $\beta$ ).

Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.

Пример.

Вычислим интеграл

Для этого сделаем замену $x = \phi(t) = \sin t$ , откуда $dx = \phi'(t)dt = \cos t dt$ . Кроме того, при $t = 0$ имеем $x = \sin 0 = 0$ , а при $t = \frac{\pi}{2}$ имеем $x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ . Получаем:

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов

(3)

где $р(х)>0$ — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и $f(x)$ — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид

(4)

где $[x \in{a};{b}]$ и $c_k$ — числа, $k = 0, 1, ..., n$ .

Получим квадратурные формулы путем замены $f(x)$ интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке $[a, b]$ . Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда $n = 0, 1, 2, p(x) = 1$ .

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:%D0%9F%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%9E%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B0/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

@@ Строка 114: / Строка 114: @@
 Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов
+::[[Изображение:W1.png‎]] (3)
+где <tex> р(х)>0 </tex> — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и <tex> f(x) </tex> — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид
-где р(х)>0 — заданная интегрируемая функция  (так называемая весовая функция) и f(x) —достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид
+::[[Изображение:W2.png‎]] (4)
-(2)
-к=0
+где <tex> [x \in{a};{b}] </tex> и <tex> c_k </tex> — числа, <tex> k = 0, 1, ..., n </tex>.
-где xfte[a, b] и ск— числа, £=0, 1, ..., п.
-В отличие от предыдущего параграфа, не будем разбивать от¬резок [a, b] на частичные отрезки, а получим квадратурные форму¬лы путем замены f(x) интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке [а, Ь]. Полученные таким образом формулы называ¬ются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как пра¬вило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Рассмотренные в § 1 формулы прямоугольни¬ков, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадра¬турных формул интерполяционного типа, когда п = 0, 1, 2, p(x)=sl.
+Получим квадратурные формулы путем замены <tex> f(x) </tex> интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке <tex> [a, b] </tex>. Полученные таким образом формулы называются ''квадратурными формулами интерполяционного типа''. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда <tex> n = 0, 1, 2, p(x) = 1 </tex>.

Участник:Пасконова Ольга/Песочница

Материал из MachineLearning.

Версия 08:59, 24 ноября 2008

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Формула замены переменных в определенном интеграле

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты