Неравенство Бонферрони

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск

Фрей Александр (Обсуждение | вклад)
(Новая: Частным случаем '''неравенства Бонферрони''' является '''неравенство Буля''' (известное так же как '''union bou...)
К следующему изменению →

Версия 16:51, 24 ноября 2008

Частным случаем неравенства Бонферрони является неравенство Буля (известное так же как union bound). Оно утверждает, что для конечного множества событий вероятность того, что реализуется хотя бы одно из них, не превосходит суммы вероятностей самих событий.

Таким образом для множества событий A1, A2, A3, ..., выполнено

P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) \leq \sum_i P\left(A_i\right).

Неравенство Бонферрони

Неравенство Буля можно обобщить, получив более точные оценки, называемые неравенствами Бонферрони.

Обозначим

S_1 = \sum_{i=1}^n P(A_i),
S_2 = \sum_{i<j} P(A_i \cap A_j),

и для 2 < k ≤ n,

S_k = \sum P(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k} ),

где суммирование идет по всем k-элементным подмножествам.

Тогда для нечетных k ≥ 1 выполнено

P\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \leq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j,

а для четных k ≥ 2

P\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \geq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j.

Неравенство Буля можно получить, положив k = 1.

При k = n неравенство превращается в точное равенство, известное как принцип включений-исключений.

Ссылки

Эта статья содержит материал о неравенстве Бонферрони взятый с сайта planetmath.org.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%91%D0%BE%D0%BD%D1%84%D0%B5%D1%80%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B8»
Личные инструменты