Критерий Колмогорова-Смирнова

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Использование критерия для проверки нормальности)
Строка 18: Строка 18:
Если эта нормализованная выборка имеет распределение <tex>N(0, 1)</tex>, то считается,
Если эта нормализованная выборка имеет распределение <tex>N(0, 1)</tex>, то считается,
что исходная выборка также распределена нормально с параметрами <tex>(\bar{x}, \sigma_{\bar{x}})</tex>.
что исходная выборка также распределена нормально с параметрами <tex>(\bar{x}, \sigma_{\bar{x}})</tex>.
-
 
+
==Литература==
 +
#Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
 +
#Kolmogorov А. N. Confidence limits for an unknown distribution function // AMS. 1941. V. 12. P. 461-463.
 +
#211. Смирнов Н. В. Оценка расхождения между эмпирическими кривыми распределений в двух независимых выборках // Бюллетень МГУ. Сер. А. Вып. 2. 1939. С. 13—14.
==См. также==
==См. также==
*[[Критерий Шапиро-Уилка]]
*[[Критерий Шапиро-Уилка]]

Версия 20:17, 11 декабря 2008

Критерий Колмогорова-Смирнова используется для проверки гипотезы H_0: "случайная величина X имеет распределение F(x)".

Содержание

Описание критерия

Пусть X_n - выборка независимых одинаково распределённых случайных величин, F_n(x) - эмпирическая функция распределения, \Phi(x) - некоторая фиксированная "истинная" функция распределения. Тогда статистика критерия определяется следующим образом:

D_n=\sup_x |F_n(x)-\Phi(x)|.

Обозначим через H_0 гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению \Phi(X)\in \mathrm{C}^1(\mathbb{X}). Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

\forall t>0: \quad \lim_{n \to \infty}P(\sqrt{n} D_n \leq t)=K(t)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}(-1)^j \mathrm{e}^{-2j^2t^2}.

Гипотеза H_0 отвергается, если статистика \sqrt{n}D_n\! превышает квантиль распределения K_\alpha заданного уровня значимости \alpha, и принимается в противном случае.

Использование критерия для проверки нормальности

При помощи критерия Колмогорова-Смирнова определяется, описывает ли заданная функция наблюдаемое распределение X, в то время как для проверки нормальности требуется выяснить, принадлежит ли функция распределения величины X параметрическому семейству функций. Один из возможных способов решения этой проблемы заключается в вычислении выборочного среднего и выборочной дисперсии и последующем применении критерия к нормализованной выборке

y_i=\frac{x_i-\bar{x}}{\sqr{\sigma_{\bar{x}}^2}}.

Если эта нормализованная выборка имеет распределение N(0, 1), то считается, что исходная выборка также распределена нормально с параметрами (\bar{x}, \sigma_{\bar{x}}).

Литература

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
  2. Kolmogorov А. N. Confidence limits for an unknown distribution function // AMS. 1941. V. 12. P. 461-463.
  3. 211. Смирнов Н. В. Оценка расхождения между эмпирическими кривыми распределений в двух независимых выборках // Бюллетень МГУ. Сер. А. Вып. 2. 1939. С. 13—14.

См. также

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%A1%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0»
Личные инструменты