Авторегрессионное скользящее среднее

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Дорофеев Н.Ю. (Обсуждение | вклад)
(Новая: В статистике и обработке сигналов модель '''авторегрессионного скользящего среднего''' (autoregressive moving aver...)
К следующему изменению →

Версия 08:09, 25 декабря 2008

В статистике и обработке сигналов модель авторегрессионного скользящего среднего (autoregressive moving average, ARMA), называемая иногда моделью Бокса-Дженкинса, применяется для исследования временных рядов.

Имея временной ряд $X_t$ , модель авторегрессионного скользящего среднего позволяет объяснить и, возможно, предсказать будущие значения ряда. Модель состоит из двух частей: авторегрессионной (AR) части и скользящего среднего(MA). Для упоминания модели обычно используется обозначение ARMA(p,q), где p — порядок регрессионной части, а q — порядок скользящего среднего.

Авторегрессионная модель

Сочетание AR(p) используется для обозначения авторегрессионной модели порядка p. AR(p) записывается следующим образом:

$X_t = c + \sum_{i=1}^p \phi_i X_{t-i} + \epsilon_t$ ,

где $\phi_1,\dots,\phi_p$ — параметры модели, $c$ — константа, а $\epsilon_t$ — белый шум. Для простоты константу зачастую опускают. По сути своей авторегрессионная модель является полюсным фильтром с бесконечной импульсной характеристикой, истолкованным в контексте анализа временных рядов. Для того, чтобы модель была стационарной требуется наложить некоторые ограничения на параметры модели. Например, при $\abs{ \phi_1 } \ge 1$ модель AR(1) не будет обладать свойством стационарности.

Скользящее среднее

Модель скользящего среднего порядка q обозначается MA(q) и записывается следующим образом:

$X_t = \sum_{i=1}^q \theta_i \epsilon_{t-i} + \epsilon_t$ ,

где $\theta_1,\dots,\theta_q$ — параметры модели, а $\epsilon_t, \dots, \epsilon_{t-q}$ — ошибки. Скользящее среднее можно рассматривать, как интерпретацию фильтра с конечной импульсной характеристикой

Авторегрессионное скользящее среднее

Под обозначением ARMA(p,q) понимается модель, содержащая p авторегрессионных составляющих и q скользящих средних. Точнее модель ARMA(p,q) включает в себя модели AR(p) и MA(q):

$X_t = c + \epsilon_t + \sum_{i=1}^q \theta_i \epsilon_{t-i} + \sum_{i=1}^p \phi_i X_{t-i}$ ,

Погрешности

Обычно значения ошибки $\epsilon_t$ полагают независимыми одинаково распределёнными случайными величинами, взятыми из нормального распределения с нулевым средним: $\epsilon_t \sim N \left(0, \sigma^2 \right)$ , где $\sigma^2$ — дисперсия. Предположения можно ослабить, но это может привести к изменнеию свойтв модели. Например, если не предполагать независимости и одинакового распределения ошибок, поведение модели существенным образом меняется.