Тренд

Материал из MachineLearning.

Версия 11:50, 9 января 2009 (править) Баранов Александр (Обсуждение | вклад) (Новая: '''Эта статья в разработке''') ← К предыдущему изменению		Версия 18:44, 10 января 2009 (править) (отменить) Баранов Александр (Обсуждение | вклад) К следующему изменению →
Строка 1:		Строка 1:
-	'''Эта статья в разработке'''	+	<!-- {{TOCright}} -->
		+	Для описания [[временной ряд|временных рядов]] используются математические модели. Представим, что временной ряд <tex>x_t</tex>, генерируемый некоторой моделью, можно представить в виде двух компонент:
		+
		+	<tex>x_t=\xi_t+\epsilon_t</tex>,
		+
		+	где величина <tex>\epsilon_t</tex> - шум, генерируется случайным неавтокоррелированным процессом с нулевым математическим ожиданием и конечной (не обязательно постоянной) дисперсией, а величина <tex>\xi_t</tex> может быть cгенерирована либо детерминированной функцией, либо случайным процессом, либо какой-нибудь их комбинацией. Величины <tex>\xi_t</tex> и <tex>\epsilon_t</tex> различаются характером воздействия на значения последующих членов ряда. Переменная <tex>\epsilon_t</tex> влияет только на значение синхронного ей члена ряда, в то время как величина <tex>\xi_t</tex> в известной степени определяет значение нескольких или всех последующих членов ряда. Через величину <tex>\xi_t</tex> осуществляется взаимодействие членов ряда; таким образом, в ней содержится информация, необходимая для получения прогнозов.
		+	Назовем величину <tex>\xi_t</tex> уровнем ряда в момент <tex>t</tex>, а закон эволюции уровня во времени — '''трендом'''. Таким образом, тренд может быть выражен как детерминированной, так и случайной функциями, либо их комбинацией. Стохастические тренды имеют, например, ряды со случайным уровнем или случайным скачкообразным характером роста.
		+
		+	Компоненты временного ряда <tex>\xi_t</tex> и <tex>\epsilon_t</tex> ненаблюдаемы. Они являются теоретическими величинами. Их выделение и составляет предмет анализа временного ряда в задаче прогнозирования. Оценку будущих членов ряда обычно делают по прогнозной модели. Прогнозная модель —- это модель, аппроксимирующая тренд. Прогнозы — это оценки будущих уровней ряда, а последовательность прогнозов для различных периодов упреждения <tex>\tau</tex> = 1, 2, .... k составляет оценку тренда.
		+
		+	При построении прогнозной модели выдвигается гипотеза о динамике величины <tex>\xi_t</tex>, т. е. о характере тренда. Однако в связи с тем, что уверенность в гипотезе всегда относительна, рассматриваемые нами модели наделяются адаптивными свойствами, способностью к корректировке исходной гипотезы или даже к замене ее другой, более адекватно (с точки зрения точности прогнозов) отражающей поведение реального ряда.
		+
		+	== Примеры ==
		+
		+	Пример детерминированного тренда:
		+
		+	<tex>\xi_t = a_1 + a_2t + a_3t^2</tex>
		+
		+	Пример случайного тренда:
		+
		+	<tex>\xi_t = \xi_{t-1} + u_t = \xi_0 + \sum_{i=1}^{t} u_i</tex>
		+
		+	где <tex>\xi_t</tex> — некоторое начальное значение;
		+
		+	<tex>u_t</tex> — случайная переменная.
		+
		+	Пример тренда смешанного типа:
		+
		+	<tex>\xi_t = a_1 + a_2t + u_t + qu_{t-1} + b\sin(\omega t)</tex>,
		+
		+	где <tex>a_1,~ a_2,~ q,~ b,~ \omega</tex> - постоянные коэффициенты, <tex>u_t</tex> - случайная переменная.
		+
		+	== Литература ==
		+	# ''Лукашин Ю.П.'' Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов - М.&nbsp;Финансы и статистика, 2003
		+
		+	[[Категория:Анализ временных рядов|Т]]

---

Версия 18:44, 10 января 2009

Для описания временных рядов используются математические модели. Представим, что временной ряд , генерируемый некоторой моделью, можно представить в виде двух компонент:

,

где величина - шум, генерируется случайным неавтокоррелированным процессом с нулевым математическим ожиданием и конечной (не обязательно постоянной) дисперсией, а величина может быть cгенерирована либо детерминированной функцией, либо случайным процессом, либо какой-нибудь их комбинацией. Величины и различаются характером воздействия на значения последующих членов ряда. Переменная влияет только на значение синхронного ей члена ряда, в то время как величина в известной степени определяет значение нескольких или всех последующих членов ряда. Через величину осуществляется взаимодействие членов ряда; таким образом, в ней содержится информация, необходимая для получения прогнозов. Назовем величину уровнем ряда в момент , а закон эволюции уровня во времени — трендом. Таким образом, тренд может быть выражен как детерминированной, так и случайной функциями, либо их комбинацией. Стохастические тренды имеют, например, ряды со случайным уровнем или случайным скачкообразным характером роста.

Компоненты временного ряда и ненаблюдаемы. Они являются теоретическими величинами. Их выделение и составляет предмет анализа временного ряда в задаче прогнозирования. Оценку будущих членов ряда обычно делают по прогнозной модели. Прогнозная модель —- это модель, аппроксимирующая тренд. Прогнозы — это оценки будущих уровней ряда, а последовательность прогнозов для различных периодов упреждения = 1, 2, .... k составляет оценку тренда.

При построении прогнозной модели выдвигается гипотеза о динамике величины , т. е. о характере тренда. Однако в связи с тем, что уверенность в гипотезе всегда относительна, рассматриваемые нами модели наделяются адаптивными свойствами, способностью к корректировке исходной гипотезы или даже к замене ее другой, более адекватно (с точки зрения точности прогнозов) отражающей поведение реального ряда.

Примеры

Пример детерминированного тренда:

Пример случайного тренда:

где — некоторое начальное значение;

— случайная переменная.

Пример тренда смешанного типа:

,

где - постоянные коэффициенты, - случайная переменная.

Литература

1. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов - М. Финансы и статистика, 2003