ARIMA

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м (формулы)
(→Ссылки)
Строка 42: Строка 42:
[[Категория:Прикладная статистика]]
[[Категория:Прикладная статистика]]
 +
[[Категория:Регрессионный анализ]]

Версия 17:29, 23 апреля 2009

Авторегрессионное интегрированное скользящее среднее (autoregressive integrated moving average, ARIMA) является обобщением модели авторегрессионного скользящего среднего. Эти модели используются при работе с временными рядами для более глубокого понимания данных или предсказания будущих точек ряда. Обычно модель упоминается, как ARIMA(p,d,q), где p,d и q — целые неотрицательные числа, характеризующие порядок для частей модели (соответственно авторегрессионной, интегрированной и скользящего среднего).

Пусть задан временной ряд X_t, где t — целый индекс и X_t — вещественные числа. Тогда модель ARMA(p,q) задаётся следующем образом:

\left(1-\sum_{i=1}^p \phi_i L^i\right) X_t = \left(1+\sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \epsilon_t,

где L — оператор задержки, \phi_i — параметры авторегрессионной части модели, \theta_i — параметры скользящего среднего, а \epsilon_t — значения ошибки. Обычно предполагают, что ошибки \epsilon_t являются независимыми одинаково распределёнными случайными величинами из нормального распределения с нулевым средним.

ARIMA(p,d,q) получается интегрированием ARMA(p,q).

\left(1-\sum_{i=1}^p \phi_i L^i\right) (1-L)^d X_t = \left(1+\sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \epsilon_t,

где d — положительное целое, задающее уровень дифференцирования (если d=0, эта модель эквивалентна авторегрессионному скользящему среднему). И наоборот, применяя почленное дифференцирование d раз к модели ARMA(p,q), получим модель ARIMA(p,d,q). Заметим, что дифференцировать надо только авторегрессионную часть.

Важно отметить, что не все сочетания параметров дают «хорошую» модель. В частности, чтобы получить стационарную модель требуется выполнение некоторых условий.

Существует несколько известных частных случаев модели ARIMA. Например, ARIMA(0,1,0), задающая

X_t = X_{t-1} + \epsilon_t,

является моделью случайных блужданий.

Используется большое количество вариаций модели ARIMA. Например, если исследуются несколько рядов, то X_t можно трактовать как векторы. Тогда мы приходим к модели VARIMA. Иногда в модели может иметься сезонный фактор. Примером может послужить модель объёма трафика за день. На выходных поведение ряда будет заметно отличаться от рабочих дней. В этом случае вместо того, чтобы наращивать порядки скользящего среднего и авторегрессионной части модели, лучше прибегнуть к модели сезонного авторегрессионного скользящего среднего (SARIMA). Если имеется некоторая долгосрочная зависимость, параметр d может быть заменён нецелыми значениями, приводя к авторегрессионному дробноинтегрированному процессу скользящего среднего (FARIMA или ARFIMA).

См. также

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=ARIMA»
Личные инструменты