Биномиальное распределение

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 20:18, 4 ноября 2009

Содержание

1 Определение
2 Основные свойства
3 Асимптотические приближения при больших n
4 Литература
5 Ссылки

Определение

Биномиальное распределение - дискретное распределение вероятностей случайной величины $X$ , принимающей целочисленные значения $k=0,1,\ldots,n$ с вероятностями:

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ .

Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом $n>0$ , называемым числом испытаний, и вещественным числом $p$ , $0\le p\le 1$ , называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение - одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью $p$ , то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы $X=X_1+\cdots+X_n$ независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.

Основные свойства

Характеристическая функция $\phi(t)=(1+p(e^{it}-1))^n$

Моменты:

Математическое ожидание: $MX=np$
Дисперсия: $DX=np(1-p)$
Асимметрия: $\gamma_1=\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}$ ; при $p=0.5$ распределение симметрично относительно центра $n/2$

Асимптотические приближения при больших n

Если значения $n$ велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно. В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).

Приближение Пуассона

Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения $n$ большие, а значения $p$ близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром $\lambda=np$ .

Строгая формулировка: если $n\to\infty$ и $p\to 0$ таким образом, что $np\to\lambda$ , то

$P(X=k)\to\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0,1,2,\ldots.$

Более того, справедлива следующая оценка. Пусть $Y$ - случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром $\lambda=np$ . Тогда для произвольного множества $B\subset\{0,1,2,\ldots\}$ справедливо неравенство:

$|P(X\in B) - P(Y\in B)|\le 2np^2.$

Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12].

Нормальное приближение

Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда $n\to\infty$ , а $p$ фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении $X$ в виде суммы $n$ слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины

$X'=\frac{X-MX}{\sqrt{DX}}=\frac{X-np}{\sqrt{npq}$ , где $q=1-p$

близко к стандартному нормальному.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям $k$ , таким что $|k-np|=o(npq)^{2/3}$ , имеет место

$P(X=k)\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}=\frac{1}{\sqrt{npq}}\varphi\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right),$

где $\varphi$ - плотность стандартного нормального распределения.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

На практике необходимость оценки вероятностей отдельных значений, которую дает локальная теорема Муавра-Лапласа, возникает не часто. Гораздо более важно оценивать вероятности событий, включающих в себя множество значений. Для этого используется интегральная теорема, которую можно сформулировать в следующем виде [1, гл. I, §6]:

$\sup_{-\infty\le a<b\le\infty}\left|P\left(a<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le b\right) - P(a<Z\le b)\right|\to 0$ при $n\to\infty$ ,

где случайная величина $Y$ имеет стандартное нормальное распределение $\mathcal{N}(0,1)$ , и аппроксимирующая вероятность определяется по формуле

$P(a<Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)$ ,

где $\Phi(t)$ - функция распределения стандартного нормального закона: $\Phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^t e^{-t^2/2}\,dt$ .

Есть ряд результатов, позволяющих оценить скорость сходимости. В [1, гл. I, §6] приводится следующий результат, являющийся частным случаем теоремы Берри-Эссеена:

$\sup_{-\infty\le x\le\infty}|F_n(x)-\Phi(x)|\le\frac{p^2+q^2}{\sqrt{npq}},$

где $F_n(x)$ - функция распределения случайной величины $X'=\frac{X-np}{\sqrt{npq}}$ . На практике решение о том, насколько следует доверять нормальному приближению, принимают исходя из величины $npq$ . Чем она больше, тем меньше будет погрешность приближения.

Заметим, что асимптотический результат не изменится, если заменить строгие неравенства на нестрогие и наоборот. Предельная вероятность от такой замены также не поменяется, так как нормальное распределение абсолютно непрерывно и вероятность принять любое конкретное значение для него равна нулю. Однако исходная вероятность от такой замены может измениться, что вносит в формулу некоторую неоднозначность. Для больших значений $n$ изменение будет невелико, однако для небольших $n$ это может внести дополнительную погрешность.

Для устранения этой неоднозначности, а также повышения точности приближения рекомендуется задавать интересующие события в виде интервалов с полуцелыми границами. При этом приближение получается точнее. Это связано с тем интуитивно понятным соображением, что аппроксимация кусочно-постоянной функции (функции распределения биномиального закона) с помощью непрерывной функции дает более точные приближения между точками разрыва, чем в этих точках.

Пример

Пусть $n=20$ , $p=0.5$ . Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения $10$ не более чем на $3$ . Заметим, что $npq=5$ - значение очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно.

Истинная вероятность равна

$P(7\le X\le 13)\approx 0.8846$

Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое):

$P(7\le X\le 13)=P(6<X\le 13)=P\left(\frac{6-10}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{13-10}{\sqrt{5}}\right)=P\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{3}{\sqrt{5}}\right)\approx P\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}<Z\le\frac{3}{\sqrt[5}}\right)=\Phi(\frac{3}{\sqrt{5}}) - \Phi(-\frac{4}{\sqrt{5}})\approx 0.8733$

Ошибка приближения равна $0.0113$

Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках:

$P(7\le X\le 13)=P(6.5<X< 13.5)=P\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right)\approx P\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}<Z\le\frac{3.5}{\sqrt[5}}\right)=\Phi(\frac{3.5}{\sqrt{5}}) - \Phi(-\frac{3.5}{\sqrt{5}})\approx 0.8824$

Ошибка приближения равна $0.0022$ - примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе.

Литература

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

Ссылки

Биномиальное распределение (Википедия)
Binomial distribution (Wikipedia)

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5»

Категория: Материалы по теории вероятностей

@@ Строка 69: / Строка 69: @@
 Для устранения этой неоднозначности, а также повышения точности приближения рекомендуется задавать интересующие события в виде интервалов с полуцелыми границами. При этом приближение получается точнее. Это связано с тем интуитивно понятным соображением, что аппроксимация кусочно-постоянной функции (функции распределения биномиального закона) с помощью непрерывной функции дает более точные приближения между точками разрыва, чем в этих точках.
-===Примеры===
+===Пример===
+Пусть <tex>n=20</tex>, <tex>p=0.5</tex>. Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения <tex>10</tex> не более чем на <tex>3</tex>. Заметим, что <tex>npq=5</tex> - значение очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно.
+Истинная вероятность равна
+<center><tex>P(7\le X\le 13)\approx 0.8846</tex></center>
+Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое):
+<center><tex>P(7\le X\le 13)=P(6<X\le 13)=P\left(\frac{6-10}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{13-10}{\sqrt{5}}\right)=P\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{3}{\sqrt{5}}\right)\approx P\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}<Z\le\frac{3}{\sqrt[5}}\right)=\Phi(\frac{3}{\sqrt{5}}) - \Phi(-\frac{4}{\sqrt{5}})\approx 0.8733</tex></center>
+Ошибка приближения равна <tex>0.0113</tex>
+Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках:
+<center><tex>P(7\le X\le 13)=P(6.5<X< 13.5)=P\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right)\approx P\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}<Z\le\frac{3.5}{\sqrt[5}}\right)=\Phi(\frac{3.5}{\sqrt{5}}) - \Phi(-\frac{3.5}{\sqrt{5}})\approx 0.8824</tex></center>
+Ошибка приближения равна <tex>0.0022</tex> - примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе.
 ==Литература==