Функция распределения

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Pavel Vilenkin (Обсуждение | вклад)
(Новая: ==Определение== '''Функция распределения''' случайной величины <tex>X</tex> - это числов...)
К следующему изменению →

Версия 09:27, 9 ноября 2009

Определение

Функция распределения случайной величины $X$ - это числовая функция, которая имеет вид:

$F_X(t)=P(X<t)$ , $t\in\mathbb{R}$ .

Обозначение $F_X$ используется для того, чтобы подчеркнуть, о какой случайной величине идет речь; если это ясно из контекста, то часто индекс опускают и обозначают функцию распределения просто $F(t)$

Свойства

Функция распределения $F(t)$ определена на всей числовой оси и обладает следующими свойствами, вытекающими из свойств вероятностной меры:

1. $0\le F(t)\le 1$

2. $\lim_{t\to-\infty}F(t)=0$ , $\lim_{t\to+\infty}F(t)=1$ .

3. Функция распределения является неубывающей: если $t_1<t_2$ , то $F(t_1)\le F(t_2)$

4. Функция распределения непрерывна слева: $\lim_{t\to x-0}F(t)=F(x)$ для любого $x\in\mathbb{R}$ .

Примечание. Последнее свойство обозначает, какие значения принимает функция распределения в точках разрыва. Иногда определение функции распределения формулируют с использованием нестрогого неравенства: $P(X\le t)$ . В этом случае непрерывность слева заменяется на непрерывность справа: $F(t)\to F(x)$ при $t\to x+0$ . Никакие содержательные свойства функции распределения при этом не меняются, поэтому данный вопрос является лишь терминологическим.

Свойства 1-4 являются характеристическими, т.е. любая функция $F(t)$ , удовлетворяющая этим свойствам, является функцией распределения некоторой случайной величины.

Функция распределения задает распределение вероятностей случайной величины однозначно. Фактически, она является универсальным и наиболее наглядным способом описания этого распределения.

Чем сильнее функция распределения растет на заданном интервале числовой оси, тем выше вероятность попадания случайной величины в этот интервал. Если вероятность попадания в интервал равна нулю, то функция распределения на нем постоянна.

В частности, вероятность того, что случайная величина $X$ примет заданное значение $x$ , равна скачку функции распределения в данной точке:

$P(X=x)=\lim_{t\tox+0}F(t)-\lim_{t\to x-0}F(t)$ .

Если функция распределения непрерывна в точке $x$ , то вероятность принять данное значение для случайной величины равна нулю. В частности, если функция распределения непрерывна на всей числовой оси (при этом и соответствующее распределение называется непрерывным), то вероятность принять любое заданное значение равна нулю.

Из определения функции распределения вытекает, что вероятность попадания случайной величины в интервал, замкнутый слева и открытый справа, равна:

$P(a\le X < b) = F(b)-F(a)$

С помощью данной формулы и указанного выше способа нахождения вероятности попадания в любую заданную точку, легко определяются вероятности попадания случайной величины в интервалы других типов: $(a,b)$ , tex>[a,b]</tex> и tex>(a,b]</tex>. Далее, по теореме о продолжении меры, можно однозначно продолжить меру на все борелевские множества числовой прямой $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ . Для того, чтобы применить эту теорему, требуется показать, что таким образом определенная на интервалах мера является на них сигма-аддитивной; при доказательстве этого в точности используются свойства 1-4 (в частности, свойство непрерывности слева 4, поэтому отбросить его нельзя).