Участник:Anton/Песочница

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Критерии согласия - это критерии проверки гипотез о законе распределения вероятностей. Такие критерии подразделяются на два класса:

  1. Общие критерии согласия применимы к самой общей формулировке гипотезы, а именно к гипотезе о согласии наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением вероятностей.
  2. Специальные критерии согласия предполагают специальные нулевые гипотезы, формулирующие согласие с определенной формой распределения вероятностей.

Содержание

Общие критерии согласия

Нулевая гипотеза H_0: F_n(x) = F(x), где F_n(x) - эмпирическая функция распределения вероятностей; F(x) - гипотетическая функция распределения вероятностей.

Группы общих критериев согласия:

  • критерии, основанные на изучении разницы между теоретической плотностью распределения и эмпирической гистограммой;
  • критерии, основанные на расстоянии между теоретической и эмпирической функциями распределения вероятностей;

Критерии, основанные на сравнении теоретической плотности распределения и эмпирической гистограммы

Критерии, основанные на сравнении теоретической и эмпирической функций распределения вероятностей

Расстояние между эмпирической и теоретической функциями распределения вероятностей является весьма эффективной статистикой для проверки гипотез о виде закона распределения вероятностей случайной величины.

Критерии согласия, использующие различные варианты анализа расстояния между теоретической (\Phi(x)) и эмпирической (F(x)) функциями распределения:

Название критерия Функционал расстояния
Критерий Джини \int | F(x) - \Phi(x) | dx
Критерий Крамера-фон Мизеса \int \{ F(x) - \Phi(x) \}^2 dx
Критерий Колмогорова-Смирнова [4] [5] \sup_{-\infty < x < \infty} |F(x) - \Phi(x)|
Критерий Реньи (R-критерий) [6] \sup_{F(x) > a} \frac{|F(x) - \Phi(x)|}{F(x)}
Критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса [7] [8] \int \{ F(x) - \Phi(x) \}^2 d\Phi(x)
Критерий Андерсона-Дарлинга [9] \int \frac{\{ F(x) - \Phi(x) \}^2}{\Phi(x)\{1 - \Phi(x)\}}d\Phi(x)
Критерий Купера [10] \sup_{-\infty < x < \infty} \{F(x) - \Phi(x)\} + \sup_{-\infty < x < \infty} \{ \Phi(x) - F(x) \}
Критерий Ватсона [11] \int \left\{ F(x) - \Phi(x) - \int \left[ F(x) - \Phi(x) \right]d\Phi(x) \right\} d\Phi(x)
Критерий Фроцини \int | F(x) - \Phi(x) | d\Phi(x)

Другие критерии:

Специальные критерии согласия

Нормальное распределение

Нормальный закон распределения вероятностей получил наибольшее распространение в практических задачах обработки экспериментальных данных. Большинство прикладных методов математической статистики исходит из предположения нормальности распределения вероятностей изучаемых случайных величин. Широкое распространения этого распределения вызвало необходимость разработки специальных критериев согласия эмпирических распределений с нормальным. Существуют как модификации общих критериев согласия, так и критерии, созданные специально для проверки нормальности.

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальный закон распределения вероятностей является базовым законом, используемым в теории надежности. Его аналитическая простота делает его привлекательным для инженеров и исследователей.

Существует большое количество специальных критериев согласия для экспоненциального распределения:

  • Критерий Шапиро-Уилка для экспоненциального распределения [14]
  • Критерии типа Колмогорова-Смирнова [15] [16]
  • Критерии типа Смирнова-Крамера-фон Мизеса для цензурированных данных. [17]
  • Критерий Фроцини для экспоненциального распределения. [18]

Равномерное распределение

Примечания

  1. ↑ Karl Pearson. On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of Correlated System of Variables is such that it can be Reasonably Supposed to have Arisen from Random Sampling, Philosophical Magazine, 50, 157-175, 1900.
  2. ↑ Идье В., Драйад Д., Джеймс Ф., Рус М., Садуле Б. Статистические методы в экспериментальной физике. — М.: Атомиздат, 1976.
  3. ↑ Barnett A., Eisen E. A quartile test for differences in distribution. JASA. 1982. V. 77, №377. P. 47-51
  4. ↑ Kolmogorov A. N. Confidence limits for an unknown distribution function. AMS. 1941. V. 12. P. 461-463.
  5. ↑ Смирнов Н.В. Оценка расхождения между эмпирическими кривыми распределений в двух независимых выборках. Бюллетенеь МГУ. Сер. А. Вып.2. 1939. С. 13-14.
  6. ↑ Renyi A. On the theory of order statistics. Acta Mathem. Acad. Scientarium Hungarical. 1953. V. 4. P. 191-232.
  7. ↑ Смирнов Н.В. О критерии Крамера-фон Мизеса. Успехи матем. наук (новая серия). 1949. Т. 4. №4(32). С. 196-197.
  8. ↑ Мартынов Г.В. Критерии омега-квадрат. - М.:Наука. 1978.
  9. ↑ Anderson T.W., Darling D.A. A test for goodness-of-fit. JASA. 1954. V. 49. P. 765-769.
  10. ↑ Kuiper N.H. Tests concerning random points on a circle. Proc. Konikl. Nederl. Akad. Van Wettenschappen. 1960. S. A. V. 63. P. 38-47.
  11. ↑ Watson G.S. Googness-of-fit tests on a circle. Biometrika. 1961. V. 48. № 1-2. P. 109-114.
  12. ↑ Darling J. The Kolmogorov-Smirnov, Cramer-von Mises tests. AMS. 1957. V. 28. P. 823-838.
  13. ↑ Durbin J. Some methods of constructing exact tests. Biometrika. 1961. V. 48. № 1-2. P. 41-57.
  14. ↑ Shapiro S.S., Wilk M.B. An analisys of variance test for the exponential distribution (complete samples). Technometrics. 1972. V. 14. P. 355-370.
  15. ↑ Spinelli J.J., Stephens M.A. Tests for exponentiality when origin and scale paramters are unknown. Technometrics. 1987. V. 29. № 4. P. 471-476.
  16. ↑ Spurrier J.D. On overview of tests of exponentiality. Commun. Stat.-Theor. Meth. 1984. V. 13. P. 1635-1654.
  17. ↑ Pettit A.N. Tests for the exponentionality distribution with censored data using Cramer-von Mises statistics. Biometrika. 1977. V. 64. № 3. P. 629-632.
  18. ↑ Frozini B. V. On the distribution and power of a goodness-of-fit statistic with parametric and nonparametric applications. "Goodness-of-fit". Ed. by Revesz P., Sarkadi K., Sen P.K., Amsterdam-Oxford- New York: North-Holland. Publ. Comp., 1987, P. 133-154.

Литература

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
  2. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.


Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Участник:Anton
Преподаватель: Участник:Vokov
Срок: 8 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.


Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Anton/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»
Личные инструменты