Участник:Василий Ломакин/Коэффициент корреляции Кенделла
Материал из MachineLearning.
|
Коэффициент корреляции Кенделла (Kendall tau rank correlation coefficient) — мера линейной связи между случайными величинами. Корреляция Кенделла является ранговой, то есть для оценки силы связи используются не численные значения, а соответствующие им ранги. Коэффициент инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
Описание
Заданы две выборки .
Вычисление корреляции Кенделла:
Коэффициент корреляции Кенделла вычисляется по формуле:
, где
— количество инверсий, образованных величинами
, расположенными в порядке возрастания соответствующих
.
Коэффициент принимает значения из отрезка
. Равенство
указывает на строгую прямую линейную зависимость,
на обратную.
Обоснование критерия Кенделла:
Будем говорить, что пары и
согласованы, если
и
или
и
, то есть
. Пусть
- число согласованных пар,
- число несогласованных пар. Тогда, в предположении, что среди
и среди
нет совпадений, превышение согласованности над несогласованностью есть:
.
Для измерения степени согласия Кенделл предложил следующий коэффициент:
.
Таким образом, коэффициент (линейно связанный с
) можно считать мерой неупорядоченности второй последовательности относительно первой.[3]
Статистическая проверка наличия корреляции
Нулевая гипотеза : Выборки
и
не коррелируют.
Статистика критерия:
Асимптотический критерий (при уровне значимости ):
Рассмотрим центрированную и нормированную статистику Кенделла:
, где
.
Нулевая гипотеза отвергается (против альтернативы - наличие корреляции), если:
-
, где
есть
-квантиль стандартного нормального распределения.
Аппроксимация удовлетворительно работает, начиная с .[4]
Случай совпадающих наблюдений:
При наличии связок коэффициент корреляции Кенделла следует вычислять следующим образом:
[5]
- где
и
— количество связок в выборках
и
,
,
— их размеры. Для элементов связок вычисляется средний ранг.
Примеры
Ниже приведены примеры вычисления корреляций Кенделла и Спирмена. Значения коэффициентов указаны над каждым изображением в виде , где
- корреляция Кенделла,
- Спирмена. Заметно, что в большинстве случаев
. Объяснение этого эффекта приводится ниже.
Направление линейной зависимости
Коэффициенты корреляции реагируют на изменение направления и зашумлённость линейной зависимости между переменными.
Наклон линейного тренда
Коэффициенты корреляции реагируют на изменение направления, но не реагируют на изменение наклона тренда. На первом, четвёртом и седьмом рисунках дисперсия одной из переменных близка к нулю, поэтому не удаётся зафиксировать факт линейной зависимости.
Нелинейная зависимость
Корреляции Кенделла и Спирмена не отражают меры нелинейной зависимости между переменными.
Линейная и нелинейная зависимости
На каждой из приведённых ниже иллюстраций осуществляется переход от линейной зависимости к нелинейной. Коэффициенты корреляции Кенделла и Спирмена реагируют на это одинаковым образом.
По мере смены линейной зависимости нелинейной коэффициенты корреляции падают.
Связь коэффициентов корреляции Кенделла и Пирсона
В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла может быть использован для оценки коэффициента корреляции Пирсона
по формуле:
-
.[6]
Связь коэффициентов корреляции Кенделла и Спирмена
Выборкам и
соответствуют последовательности рангов:
, где
— ранг
-го объекта в вариационном ряду выборки
;
, где
— ранг
-го объекта в вариационном ряду выборки
.
Проведем операцию упорядочивания рангов.
Расположим ряд значений в порядке возрастания величины:
. Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки
будет представлять собой последовательность натуральных чисел
. Значения
, соответствующие значениям
, образуют в этом случае некоторую последовательность рангов
:
.
Коэффициент корреляции Кенделла и коэффициент корреляции Спирмена
выражаются через ранги
следующим образом:
Заметно, что в случае инверсиям придаются дополнительные веса
, таким образом
сильнее реагирует на несогласие ранжировок, чем
. Этот эффект проявляется в приведённых выше примерах: в большинстве из них
.
Утверждение.[7] Если выборки и
не коррелируют (выполняется гипотеза
), то величины
и
сильно закоррелированы. Коэффициент корреляции между ними можно вычислить по формуле:
.
История
Критерий был введён в 1938 году известным британским статистиком Морисом Джорджем Кенделлом.
Примечания
- ↑ Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 223 с.
- ↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 625 с.
- ↑ Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 345 с.
- ↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 625 с.
- ↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 625 с.
- ↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 625 с.
- ↑ Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 345-346 с.
Литература
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 624-626 с.
- Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 345-346 с.
- Лапач С. Н., Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 187-189 с.
Ссылки
- Ранговая корреляция
- Коэффициент корреляции Спирмена — другой способ расчёта ранговой корреляции.
- Коэффициент корреляции Пирсона
- Коэффициент корреляции — статья в русскоязычной Википедии.
- Kendall tau rank correlation coefficient — статья в англоязычной Википедии.